177 9.1 Anwendungen in der Wirtschaftsmathematik Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz R Gibt es für ein Produkt sehr viele unabhängige und gleichwertige Anbieter, dann hat der einzelne Anbieter aufgrund seines geringen Marktanteils keinen Einfluss auf den Produktpreis, der sich global durch das Gleichgewicht von Angebot und Nachfrage bildet. Der Anbieter kann also sein Produkt nur zu einem vorgegebenen Marktpreis p (aber in beliebiger Menge) absetzen. Eine solche Marktstruktur nennt man vollständige Konkurrenz. Dabei stellt sich die Frage: Welche Menge x des Produkts soll erzeugt und angeboten werden, damit nach dem Verkauf zum vorgegebenen Marktpreis p ein möglichst großer Gewinn erzielt wird? Wir erinnern uns zunächst, wie die Begriffe Erlös und Gewinn definiert sind. Definition Werden x Mengeneinheiten eines Produktes zu den Produktionskosten K(x) erzeugt und zum Preis p (in GE/ME) verkauft, dann definiert man • Erlös (Ertrag, Umsatz) = Verkaufspreis mal verkaufte Menge E (x) = p · x • Gewinn = Erlös minus Kosten G(x) = E(x) – K(x) 9.12 Die Funktion K mit K (x) = x 3 – 12x2 + 60 x + 100 für x * [0; 12] beschreibt näherungsweise die Produktionskosten eines Betriebs. Das Produkt muss zum vorgegebenen Preis p = 53GE/ME auf dem Markt angeboten werden. 1) Für welche Produktionsmengen x erzielt der Betrieb einen (positiven) Gewinn? 2) Für welche Produktionsmenge x ist der Gewinn maximal? LÖSUNG 1) Ermitteln des Gewinnbereichs • E(x)=p·x=53·x K (x) = x 3 – 12x2 + 60 x + 100 G(x) = E(x) – K(x) = = – x 3 + 12x2 – 7x – 100 • T echnologieeinsatz liefert die Stellen mit dem Gewinn 0: G(x) = –x 3 + 12x2 –7x–100=0 É É x = 4 = x ≈ 10,4 = x ≈ – 2,4 – 2,4 + [0; 12], daher ist der Gewinn für x = 4 und x ≈ 10,4 null. • A n der Abbildung sieht man: Der Betrieb erzielt nur zwischen den Gewinngrenzen x1 und x2 einen (positiven) Gewinn. 2) Gewinnmaximierung • Mögliche Maximumstellen der Gewinnfunktion G für x * [0; 12] sind die Stellen mit G’ (x) = 0 und die Randstellen x = 0 und x = 12. G’(x) = 0 É – 3 x2 +24x–7=0 É x ≈ 0,3 = x ≈ 7,7 G (0) = –100; G (0,3) ≈ –101; G (7,7) ≈ 101; G (12) ≈ –184 • Der Vergleich der Gewinnwerte ergibt: Der maximale Gewinn von ungefähr 101 GE wird erzielt, wenn ca. 7,7ME produziert und zum Marktpreis verkauft werden. 100 –100 –200 200 300 400 500 600 xmax xopt 700 2 6 8 10 12 0 4 K (x) E (x) G (x) K E G x BEP 1 BEP 2 Verlustzone Verlustzone Gewinnzone G(x) > 0 untere Gewinngrenze x1 obere Gewinngrenze x2 Ó Applet 9h33r4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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