178 9 ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG Definition • Die Stellen x1 und x2 , an denen der Gewinn null ist, nennt man Gewinngrenzen bzw. Break-even-Mengen. Das Ermitteln dieser Stellen nennt man Break-Even-Analyse. • Die Schnittpunkte der Graphen von Kosten- und Erlösfunktion an den Gewinngrenzen heißen Break-even-Punkte (BEP). • Die Produktionsmenge, für die der Gewinn maximal ist, bezeichnen wir mit x max . In der Abbildung zur Aufgabe 9.12 sind die Gewinngrenzen x 1 und x 2 , die Break-even-Punkte BEP 1 und BEP 2, die gewinnmaximale Produktionsmenge x max und das stückkostenminimale Betriebsoptimum x opt eingezeichnet. Der Abbildung zur Aufgabe 9.12 kann man auch entnehmen: • Die Gewinngrenzen x 1 und x 2 sind jene Stellen, an denen sich die Graphen der Funktionen E und K schneiden. BEGRÜNDUNG G(x) = 0 É E(x) – K(x) = 0 É E(x) = K(x) • An der Stelle x max ist die Tangente an den Graphen der Kostenfunktion K parallel zum Graphen der Erlösfunktion E. BEGRÜNDUNG G’ (x max) = 0 É E’ (x max) – K’ (x max) = 0 É E’ (x max) = K’ (x max) BEACHTE Die gewinnmaximale Produktionsmenge xmax stimmt im Allgemeinen nicht mit der stückkostenminimalen Produktionsmenge xopt überein, dh. Gewinnmaximierung und Stückkostenminimierung sind unterschiedliche Optimierungsziele. 9.13 Berechne für die Kostenfunktion K und den festen Verkaufspreis p die Gewinngrenzen und den maximalen Gewinn! a) K (x) = 0,001 x2 + 2,6x + 9000 mit x * [ 0; 7 500 ]; p = 13,5 b) K (x) = – 0,00625 x2 + 15 x + 1 000 mit x * [ 0; 1 000 ]; p = 15 c) K (x) = 0,002 x3 – 0,18 x2 +7,8x + 9450 mit x * [0; 500]; p =140 9.14 Die Firma Factory kann für ein Erzeugnis die monatlichen Produktionskosten K (x) (in GE) in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x (in ME) durch die lineare Funktion K mit K (x) = 2 x + 5 000 darstellen. 1) Gib eine wirtschaftliche Interpretation der Zahlen 2 und 5 000 in der Kostenfunktion K an! 2) Factory muss das Erzeugnis zum vorgegebenen Marktpreis p anbieten. Begründe, dass Factory erst mit der Produktion beginnt, wenn der Marktpreis p mehr als 2 GE/ME beträgt! 3) Derzeit produziert Factory mit einem monatlichen Output von 800ME und verkauft seine gesamte Produktion zum Preis von 10 GE/ME auf dem Markt. a) Wie hoch ist der derzeitige monatliche Gewinn der Firma Factory? b) In Zulieferbetrieben wird gestreikt. Factory muss die Produktion zurückfahren. Der Prozentsatz, um den der Output höchstens sinken darf, wenn Factory weiterhin keine Verluste schreiben soll, heißt Sicherheitsgrad S. Berechne den aktuellen Sicherheitsgrad bei Factory! AUFGABEN R Ó Arbeitsblatt 9hc8dh Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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