180 9 ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG Definition Eine Funktion x ¦ p (x), die jeder Warenmenge x den Preis p (x) zuordnet, der zur Nachfrage x führt, heißt Nachfragefunktion. Nebenstehend ist eine Nachfragefunktion dargestellt. • Nachfragefunktionen sind i. A. streng monoton fallende Funktionen. Denn ein kleinerer Preis führt i. A. zu höherer Nachfrage. • Den Preis p (0) bezeichnet man üblicherweise als Höchstpreis, denn zu diesem Preis wird das Produkt nicht mehr nachgefragt. • Die Produktionsmenge x s mit p (x s ) = 0 bezeichnet man als Sättigungsmenge. Selbst zum Preis null wird auf dem Markt nicht mehr als die Sättigungsmenge x s nachgefragt. Auch der Monopolist strebt Gewinnmaximierung an und stellt daher die Frage: Welche Menge x des Produkts soll erzeugt und angeboten werden, damit nach Verkauf zum Preis p (x) entsprechend der ermittelten Nachfragefunktion ein möglichst großer Gewinn erzielt wird? Erlös und Gewinn sind dabei analog zum Fall der vollständigen Konkurrenz festgelegt: Definition Werden x Mengeneinheiten eines Produktes mit den Produktionskosten K (x) erzeugt und entsprechend der zutreffenden Nachfragefunktion zum Preis p (x) (in GE/ME) verkauft, dann definiert man • Erlös = Verkaufspreis mal verkaufte Menge E (x) = p (x) · x • Gewinn = Erlös minus Kosten G(x) = E(x) – K(x) 9.17 Ein Monopolbetrieb produziert x Mengeneinheiten eines Produktes mit den variablen Kosten Kv (x) = 0,1 x 2 + x. Bei der Herstellung fallen Fixkosten von 150 GE an. Im Planungszeitraum können höchstens 60 Mengeneinheiten erzeugt werden. Aufgrund von Marktanalysen geht man von einer Nachfragefunktion mit p (x) = – 0,2 x + 19 aus. 1) Wie viele Mengeneinheiten des Produktes muss der Betrieb erzeugen und zu welchem Preis muss er sein Produkt verkaufen, um mit positivem Gewinn zu arbeiten? 2) Für welche Produktionsmenge x und welchen Verkaufspreis p erzielt der Betrieb den größten Gewinn? LÖSUNG 1) „Break-even-Analyse“: • E rlös E (x) = p (x) · x = – 0,2 x2 + 19 x Kosten K(x) = 0,1x2 + x + 150 Gewinn G(x) = E(x) – K(x) = = – 0,3 x2 + 18 x – 150 G(x) = 0 É x = 10 = x = 50 • G ewinngrenzen: x1 = 10 und x2 = 50 Für Produktionsmengen zwischen 10ME und 50ME ist der Gewinn positiv. Entsprechend der Nachfragefunktion können diese Produktionsmengen nur abgesetzt werden, wenn der Produktpreis zwischen p (10) = 17GE/ME und p (50) = 9 GE/ME liegt. 0 p(x) x x s Ó Applet 9hd8k2 100 –100 –200 200 300 400 500 600 xC 10 30 40 50 60 0 20 K(x), E(x), G(x) (in GE) K E G x (in ME) Gewinngrenze x1 Gewinngrenze x2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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