181 9.1 Anwendungen in der Wirtschaftsmathematik 2) Gewinnmaximierung: • Wir suchen das Maximum der Gewinnfunktion für x * [ 0; 60 ]. Mögliche Maximumstellen sind die Stellen mit G’ (x) = 0 und die Randstellen x = 0 und x = 60. – G’(x) = 0 É –0,06x +18 = 0 É x = 30 – G (0) = –150; G (30) = 120; G (60) = –150 • D en maximalen Gewinn von 120 GE erzielt der Betrieb also, wenn er 30 Mengeneinheiten produziert und auch verkauft. Entsprechend der Nachfragefunktion ist das genau dann der Fall, wenn der Preis p (30) = 13 GE/ME beträgt. Definition • Die gewinnmaximale Produktionsmenge eines Monopolisten heißt Cournot’sche Menge xc . Den zugehörigen gewinnmaximalen Produktpreis entsprechend der gegebenen Nachfragefunktion nennt man Cournot’schen Preis pc . • Den Punkt C = (x c | p c) auf dem Graphen der Nachfragefunktion x ¦ p (x) bezeichnet man als Cournot’schen Punkt. 9.18 (Fortsetzung von 9.17) 1) Gib den Cournot’schen Punkt C des Monopolbetriebes an! 2) Zeige, dass das Erlösmaximum nicht für die Cournot’sche Menge xc angenommen wird! LÖSUNG 1) xc = 30; pc = 13; Cournot’scher Punkt C = (30 1 13) 2) E’(x) = 0 É –0,4x +19 = 0 É x = 47,5. Weil stets E’’ (x) = – 0,4 < 0 gilt, erhält man für 47,5 ME zwar den größten Erlös, wegen 1) aber nicht den größten Gewinn. BEACHTE Gewinnmaximierung und Erlösmaximierung sind i. A. unterschiedliche Optimierungsziele. Satz Für die Cournot’sche Menge xc eines Monopolisten gilt: Grenzerlös E’ (xc) = Grenzkosten K’ (xc) BEWEIS G’ (xc) = 0 É E’ (xc) – K’ (xc) = 0 É E’ (xc) = K’ (xc) 9.19 Gib eine Termdarstellung der linearen Nachfragefunktion x ¦ p (x) und berechne jene Produktionsmenge, bei der der größte Erlös erzielt wird! Dabei soll Folgendes gelten: a) Zum Preis von 100 GE/ME können 200 ME des Produktes verkauft werden, bei 600ME ist der Markt gesättigt. b) Ab einem Preis von 25 GE/ME kann das Produkt nicht mehr verkauft werden. Jede Preissenkung um 1GE steigert die Nachfrage um 20ME. 9.20 In der Abbildung ist der Graph einer Nachfragefunktion gezeichnet. Ein Monopolist verkauft sein Produkt zum Preis von 4 GE/ME. 1) Wie hoch sind der Höchstpreis und die Sättigungsmenge? 2) Wie hoch sind die Nachfrage und der Erlös beim angegebenen Verkaufspreis? Stelle den Erlös bildlich dar! AUFGABEN L 0 p(x) (GE/ME) x (in ME) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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