182 9 ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG 9.21 Ein Monopolbetrieb kann seine monatlichen Kosten annähernd durch eine lineare Funktion beschreiben. Bei monatlichen Fixkosten von 40 000 GE lässt jede Ausweitung der Produktion um 1 ME die Kosten um 2 GE steigen. Das Kaufverhalten der Abnehmer genügt näherungsweise der Nachfragefunktion x ¦ p (x) mit p (x) = – 0,00025 x + 18. Ermittle die Grenzen des Gewinnbereichs, den Cournot’schen Punkt und den größten erzielbaren Gewinn des Unternehmens! 9.22 Ergänze die Beschriftungen in der Abbildung und vervollständige die Sätze! a) Die Cournot’sche Menge xc beträgt ca. . b) Der Cournot’sche Preis pc beträgt ca. . 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 –2 000 4 8 12162024283236 12 000 0 y (in GE) x (in ME) K G Preiselastizität der Nachfrage L 9.23 Ein Monopolist plant mit der Nachfragefunktion x ¦ p (x) mit p (x) = – 0,5 · x + 25. Er erhöht den Preis pro ME von 20 GE auf 24 GE. Wie „stark“ ändert sich dadurch die Kundennachfrage? LÖSUNG alt neu absolute Änderung relative Änderung Preis (in GE/ME) p 0 = 20 p 1 = 24 Δ p = p 1 – p 0 = 4 Δ p _ p 0 = 4 _ 20 = 0,2 = 20% Nachfrage (in ME) x 0 = 10 x 1 = 2 Δ x = x 1 – x 0 = – 8 Δ x _ x 0 = – 8 _ 10 = –0,8 = –80% Die Preiserhöhung um 20% bewirkt also eine Abnahme der Nachfrage um 80%. Die Nachfrage reagiert somit auf die Preisänderung überproportional stark. Die Stärke des Zusammenhangs zwischen Preisänderung und Nachfrageänderung kann man durch das Verhältnis der relativen Änderungen messen. Für die letzte Aufgabe ergibt sich: Δ x _ x 0 _ Δ p _ p 0 = – 0,8 _ 0,2 = –4 bzw. Δ x _ x 0 =–4· Δ p _ p 0 Dies kann im vorliegenden Fall so interpretiert werden: Eine Preiserhöhung (Preissenkung) um einen bestimmten Prozentsatz bewirkt eine viermal so starke Abnahme (Zunahme) der Nachfrage. Insbesondere gilt: Bei einer Preiserhöhung (Preissenkung) um 1 % nimmt die Nachfrage um 4 % ab (zu). Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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