183 9.1 Anwendungen in der Wirtschaftsmathematik Definition Gegeben sei eine Nachfragefunktion x ¦ p (x). Bewirkt eine Änderung des Preises von p0 auf p1 = p0 + Δ p eine Änderung der Nachfrage von x0 auf x1 = x0 + Δ x, dann nennt man den Quotienten ‾ ε (p 0 , p 1) = Δ x _ x 0 _ Δ p _ p 0 = relative Änderung der Nachfrage _____ relative Änderung des Pr eises die mittlere Preiselastizität der Nachfrage bei Änderung des Preises von p0 auf p1 . Im Fall einer differenzierbaren Nachfragefunktion x ¦ p (x) kann für die mittlere Preiselastizität ‾ε (p, p + Δ p) der Grenzwert für Δ p ¥ 0 ermittelt werden. Weil aus Δ p ¥ 0 stets Δ x ¥ 0 folgt, erhält man: lim Δ p ¥ 0 ‾ε (p, p + Δ p) = lim Δ p ¥ 0 Δ x _ x _ Δ p _ p = lim Δ x ¥ 0 Δ x _ x _ Δ p _ p = lim Δ x ¥ 0 p _ x _ Δ p _ Δ x = p _ x _ p’ (x) = p (x) _ x · p’ (x) Dieser Grenzwert erhält einen eigenen Namen: Definition • Die Nachfragefunktion x ¦ p (x) sei differenzierbar. Dann nennt man ε (x) = p (x) _ x · p’ (x) die Preiselastizität der Nachfrage zur Nachfragemenge x (falls x ≠ 0 und p’ (x) ≠ 0). • Die Nachfrage heißt – elastisch, wenn | ε (x) | > 1, – proportional elastisch, wenn | ε (x) | = 1, – unelastisch, wenn | ε (x) | < 1. 9.24 Bei einem Diskonter gibt x ¦ p (x) mit p (x) = – 0,0075 · x + 1,5 die Nachfragefunktion für Biofrischmilch an. Dabei ist x die Tagesnachfrage in Liter und p (x) der Preis in Euro/Liter. 1) Ermittle die Preiselastizität bei einer Nachfrage von 80 ®! Interpretiere das Ergebnis! 2) In welchen Bereichen ist die Nachfrage elastisch, proportional elastisch bzw. unelastisch? LÖSUNG P reiselastizität ε (x) = p (x) _ x·p’ (x) = – 0,0075 · x + 1,5 _ x · (– 0,0075) = 1 – 200 _ x 1) ε (80) = –1,5 Dies bedeutet: Wird auf dem Preisniveau p (80) = 0,90 der Preis um 1 % gesenkt, dann steigt die Nachfrage um ca. 1,5 %. Die Nachfrage ist elastisch. 2) Für x * (0; 200 ] gilt stets ε (x) ª 0. • N achfrage elastisch É †ε (x)† > 1 É É ε (x) < –1 É x * (0; 100) • N achfrage proportional elastisch É É †ε (x)† = 1 É ε (x) = –1 É x = 100 • N achfrage unelastisch É †ε (x)† < 1 É É – 1 < ε (x) ª 0 É x * (100; 200 ] BEMERKUNG Bei x = 200 (Sättigungsmenge) ist die Nachfrage völlig unelastisch. AUFGABEN L p(x) (in €/®) x (in ®) ε (x) = –1 ε (x) = 0 ε (x) < –1 –1 < ε (x) < 0 0 0,5 1 1,5 elastisch unelastisch 100 200 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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