184 9 ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG 9.2 Anwendungen in den Naturwissenschaften Brechung und Spiegelung L Brechung des Lichts: Wenn ein Lichtstrahl von einem Medium in ein anderes (zB. von Luft in Wasser) tritt, wird er „gebrochen“, dh. er ändert seine Richtung. Die Richtungsänderung hängt von den Lichtgeschwindigkeiten v 1 und v 2 in den beiden Medien ab. A, P, B und das Lot durch P liegen in einer Ebene. Man bezeichnet α als Einfallswinkel und β als Brechungswinkel. Es gilt folgendes Gesetz: Brechungsgesetz von Snellius: sin (α) _ sin (β) = v 1 _ v 2 Reflexion des Lichts: Wird ein Lichtstrahl an einem ebenen Spiegel reflektiert, ändert er ebenfalls seine Richtung. A, P, B und das Lot durch P liegen in einer Ebene. Man bezeichnet α als Einfallswinkel und β als Reflexionswinkel. Es gilt folgendes Gesetz: P A B α α β β h1 h 2 a x a – x Reflexionsgesetz: α = β Brechungsgesetz und Reflexionsgesetz kann man aus einem grundlegenden Prinzip herleiten: Fermatsches Prinzip: Um von einem Punkt A zu einem Punkt B zu gelangen, nimmt ein Lichtstrahl unter allen Wegen immer jenen mit der kürzesten Laufzeit. 9.25 Leite das Brechungsgesetz von Snellius aus dem Fermatschen Prinzip her! LÖSUNG Wir verwenden die Bezeichnungen aus der obigen Abbildung. Der Lichtstrahl verläuft von A über P nach B. Die für diesen Weg benötigte Zeit hängt vom Abstand x ab. Anhand der Abbildung erkennt man, dass für diese Zeit t (x) gilt: t (x) = Weglänge von A nach P ____ Geschwindigkeit v 1 + Weglänge von P nach B ____ Geschwindigkeit v 2 = � _x 2 + h 1 2 _ v 1 + � _(a – x) 2 + h 2 2 _ v 2 Nach dem Fermatschen Prinzip ist der Abstand x so zu wählen, dass t (x) minimal wird. t’ (x) = 1 _ v 1 · 2 x _ 2 · � _x 2 + h 1 2 + 1 _ v 2 · 2 (a – x) · (– 1) _ 2 · � (a – x) 2 + h 2 2 = 1 _ v 1 · x _ � x 2 + h 1 2 – 1 _ v 2 · a – x _ � (a – x) 2 + h 2 2 t’ (x) = 0 É 1 _ v 1 · x _ � x 2 + h 1 2 = 1 _ v 2 · a – x _ � (a – x) 2 + h 2 2 É 1 _ v 1 · sin (α) = 1 _ v 2 · sin (β) É v 1 _ v 2 = sin (α) _ sin (β) 9.26 Leite das Reflexionsgesetz aus dem Fermatschen Prinzip her! Gehe schrittweise so vor: • Bezeichne die Lichtgeschwindigkeit mit v! • Stelle die Zeit t (x), die der Lichtstrahl von A über P nach B braucht, durch einen Term in x dar! • Zeige mithilfe des Fermatschen Prinzips, dass sin (α) = sin (β) ist! • Begründe, dass daraus α = β folgt! P A α β β α B h2 h1 a x a – x AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==