185 9.2 Anwendungen in den Naturwissenschaften 9.27 Leite das Reflexionsgesetz durch geometrische Überlegungen ohne Differentialrechnung aus dem Fermatschen Prinzip her! LÖSUNG Wir bezeichnen den Spiegelpunkt von A bezüglich der Spiegelfläche mit A’ und den Schnittpunkt der Strecke A’B mit der Spiegelfläche mit P. Der Lichtstrahl bewegt sich vom Punkt A über einen Punkt X auf der Spiegelfläche zum Punkt B. Nach dem Fermatschen Prinzip wird der Punkt X so gewählt, dass die Laufzeit auf diesem Weg minimal ist. Da sich der Lichtstrahl stets im selben Medium bewegt, ist diese Laufzeit genau dann minimal, wenn der Weg von A über X nach B die kleinste Länge hat. Diese Länge beträgt ‾AX + ‾XB = ‾ A’X + ‾XB und ist genau für X = P am kleinsten, weil die Strecke A’B die kürzeste Verbindung der Punkte A’ und B ist. Wegen ½ APF = ½ A’ PF = ½ BPG erhält man α = 90° – ½ APF = 90° – ½ BPG = β. 9.28 Wenn ein Lichtstrahl von Glas in Luft gelangt, ist v 2 > v 1 . Daraus folgt nach dem Brechungsgesetz sin (β) > sin (α) und somit β > α. Wenn sich dabei jedoch β > 90° ergibt, erfolgt keine Brechung mehr, sondern der Lichtstrahl wird zur Gänze reflektiert. Man bezeichnet den zu β = 90° gehörigen Einfallswinkel als Grenzwinkel der Totalreflexion. Berechne diesen Winkel für den Übergang von Glas in Luft, wenn sich das Licht im Glas mit ca. 160 000 km/s und in der Luft mit ca. 299710 km/s bewegt! Verzweigung von Blutgefäßen L Das Blutgefäßsystem des Körpers ist im Großen und Ganzen so angelegt, dass der Bluttransport mit möglichst geringem Widerstand erfolgt. Der Blutwiderstand R in einem zylindrischen Blutgefäß mit der Länge ® und dem Radius r beträgt: R = k · ® _ r 4 Dabei ist k eine Konstante, die von der Viskosität (Zähigkeit) des Bluts abhängt. 9.29 Die Abbildung zeigt ein Hauptblutgefäß mit dem Radius r 1 und der Länge ® = ‾AB sowie ein im Punkt C abzweigendes Nebenblutgefäß mit dem Radius r 2 (< r 1 ) und der Länge ® 1 = ‾CB ’ . a) Zeige: Die optimale Lage des Verzweigungspunktes C (dh. jener Wert von x, für den der Gesamtwiderstand des Bluts von A über C nach B’ am kleinsten ist) hängt lediglich von s und dem Verhältnis r 1 _ r 2 ab. b) Zeige: Der optimale Verzweigungswinkel α hängt lediglich vom Verhältnis r 1 _ r 2 ab. HINWEIS Zeige die Abhängigkeit zuerst für tan α und begründe dann, dass sie auch für α gilt! A B G P X F A’ α β A B P α β AUFGABEN L C A B B’ α ® x ®1 r1 s r2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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