187 KOMPETENZCHECK 9.35 Produktion eines Unternehmens In den Abbildungen sind die Kostenfunktion K, die Erlösfunktion E und die Nachfragefunktion p für ein bestimmtes Produkt eines monopolistischen Unternehmens dargestellt. 200 000 – 200 000 – 400 000 400 000 600 000 0 40 80 120 160 200 240 E K GE x (in ME) 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 0 40 80 120 160 200 240 p Preis p (x) (in GE) (in ME) menge x Nachfragea) 1) Skizziere den Graphen der Gewinnfunktion G in der linken Abbildung! 2) Gib an, für welche Poduktionsmengen der Gewinn positiv ist! b) 1) Ermittle, für welche Produktionsmenge der Erlös maximal ist! 2) Ermittle, für welche Produktionsmenge der Gewinn maximal ist! c) 1) Gib an, zwischen welchen Grenzen der Preis des Produktes gewählt werden muss, damit das Produkt abgesetzt werden kann! 2) Gib die Sättigungsmenge an! 9.36 Produktion von Earphones Audio verkauft Earphones um 19,90 € pro Stück. Nebenstehend ist der erzielte Gewinn G (x) zu verschiedenen täglichen Outputmengen x tabelliert. Output x (in Stück) 500 1 000 1 500 Gewinn G (x) (in €) 1 350 3 150 450 a) 1) Audio modelliert die Gewinnfunktion x ¦ G (x) als quadratische Funktion. Zeige durch Lösen eines Gleichungssystems mittels Technologieeinsatz, dass zu den angegebenen Tabellenwerten die Funktionsgleichung G (x) = – 0,009 · x 2 + 17,1 · x – 4 950 passt! 2) Gib eine Termdarstellung der zugehörigen Kostenfunktion x ¦ K (x) an! b) 1) Ermittle mit Technologieunterstützung die Gewinngrenzen x 1 und x 2 sowie das Betriebsoptimum x opt der Tagesproduktion! 2) x opt ist nicht die gewinnmaximale Produktionsmenge. Berechne, um wie viel Prozent der Gewinn im Betriebsoptimum unter dem Gewinnmaximum liegt! c) W ir gehen im Folgenden von einer allgemeinen quadratischen Kostenfunktion x ¦ K (x) = a · x 2 + b · x + c mit c > 0 aus und setzen voraus, dass K in ℝ 0 + streng monoton steigend ist! 1) Begründe, welche Bedingungen an die Koeffizienten a und b gestellt werden müssen, damit die angeführte Voraussetzung erfüllt ist! 2) Begründe, dass unter der angeführten Voraussetzung die Kostenfunktion K progressiv ist! R Aufgaben vom Typ 2 FA-R 1.4 FA-R 1.6 AG-R 2.2 FA-R 1.4 FA-R 1.7 AN-R 2.1 AN-R 3.3 AG-R 2.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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