190 10.1 Einige Wiederholungen aus der beschreibenden Statistik Mittelwert, empirische Varianz und empirische Standardabweichung R In der beschreibenden Statistik untersucht man die Individuen einer Grundgesamtheit oder einer Stichprobe hinsichtlich bestimmter Variablen (Merkmale). Die erhobenen Variablenwerte (Merkmalsausprägungen) fasst man jeweils in einer Liste zusammen. Im Folgenden beziehen wir uns nur auf metrische Variable, mit deren Werten man wie gewohnt rechnen kann. • Um die Verteilung der Variablenwerte in der erhaltenen Datenliste zu ermitteln, rechnet man für jeden Variablenwert – die absolute Häufigkeit (wie oft dieser Variablenwert in der Liste vorkommt) bzw. – die relative Häufigkeit (= absolute Häufigkeit durch Anzahl der erhobenen Daten). • Der mittlere (durchschnittliche) Variablenwert einer Liste kann durch den Mittelwert (das arithmetische Mittel) beschrieben werden. • Die Streuung der erhobenen Daten um den Mittelwert wird durch die empirische Varianz bzw. die empirische Standardabweichung gemessen. Definition Ist x 1 , x 2 , …, x n eine Liste von reellen Zahlen, dann nennt man • _ x = x 1 + x 2 + … + x n _ n den Mittelwert (das arithmetische Mittel) der Liste, • s 2 = (x 1 – _ x ) 2 + (x 2 – _ x ) 2 + … + (x n – _ x ) 2 _____ n die empirische Varianz der Liste, • s = � ____________________ (x 1 – _ x ) 2 + (x 2 – _ x ) 2 + … + (x n – _ x ) 2 _____ n die empirische Standardabweichung der Liste. Bei bekannter Häufigkeitsverteilung kann man auch auf folgende Art rechnen: Satz Sind a 1 , a 2 , …, a k die möglichen Werte einer Variablen und treten diese mit den absoluten Häufigkeiten H 1 , H 2 , …, H k (mit H 1 + H 2 + … + H k = n) bzw. den relativen Häufigkeiten h 1 , h 2 , …, h k (mit h 1 + h 2 + … + h k = 1) auf, dann gilt: • ‾x = a 1 · H 1 + a 2 · H 2 + … + a k · H k _____ n = a 1 · h 1 + a 2 · h 2 + … + a k · h k • s 2 = (a 1 – ‾x ) 2 · H 1 + (a 2 – ‾x ) 2 · H 2 + … + (a k – ‾x ) 2 · H k _______ n = (a 1 – ‾x ) 2 · h 1 + (a 2 – ‾x ) 2 · h 2 + … + (a k – ‾x ) 2 · h k WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN GRUNDKOMPETENZEN Die Begriffe Zufallsvariable, (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung, Erwartungswert und Standardabweichung verständig deuten und einsetzen können. WS-R 3.1 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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