191 10.1 Einige Wiederholungen aus der beschreibenden Statistik Ohne Technologieunterstützung berechnet man die empirische Varianz einfacher so: Satz (Verschiebungssatz für die empirische Varianz) Für eine Liste von reellen Zahlen x 1 , x 2 , …, x n mit der empirische Varianz s 2 und dem Mittelwert ‾x gilt: s 2 = 1 _ n · (x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2) – ‾ x 2 10.01 Am Berta-von-Suttner-Gymnasium werden aus der 7a- und 7b-Klasse jeweils 10 Personen für einen Konzentrationstest zufällig ausgewählt. Dabei kann jede Testperson eine Punktezahl von 1 bis 5 erreichen. Es ergeben sich die folgenden Punktelisten: 7 a-Klasse: 2, 2, 3, 1, 2, 3, 3, 1, 2, 2 7 b-Klasse: 3, 4, 4, 2, 1, 4, 2, 5, 3, 3 1) Ermittle für jede Klasse die absoluten und relativen Häufigkeiten der Punktezahlen! Lege dazu für jede Klasse eine Tabelle an! 2) Ermittle für jede Klasse die mittlere Punktezahl ‾x! Gib an, welche Klasse im Mittel mehr Punkte erhält! 3) Ermittle für jede Klasse die empirische Varianz s2 und die empirische Standardabweichung s der Punktezahlen! Gib an, in welcher Klasse die Punktezahlen stärker um den Mittelwert streuen! 4) Stelle für jede Klasse die Verteilung der relativen Häufigkeiten der Punktezahlen durch ein Stabdiagramm dar! Trage in das Stabdiagramm auch den Mittelwert ‾x ein! LÖSUNG 1) 7 a-Klasse 7 b-Klasse Punkteanzahl 1 2 3 4 5 Punkteanzahl 1 2 3 4 5 abs. Häufigkeit 2 5 3 0 0 abs. Häufigkeit 1 2 3 3 1 rel. Häufigkeit 0,2 0,5 0,3 0,0 0,0 rel. Häufigkeit 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1 2) 7 a-Klasse: ‾ x = 2 · 1 + 5 · 2 + 3 · 3 + 0 · 4 + 0 · 5 _____ 10 = 2,1 7 b-Klasse: ‾x = 1 · 1 + 2 · 2 + 3 · 3 + 3 · 4 + 1 · 5 _____ 10 = 3,1 Die 7b-Klasse erreicht im Mittel mehr Punkte. 3) 7 a-Klasse: s 2 = (1 – 2,1) 2 · 2 + (2 – 2,1) 2 · 5 + (3 – 2,1) 2 · 3 + (4 – 2,1) 2 · 0 + (5 – 2,1) 2 · 0 __________ 10 ≈ 0,490 s ≈ 0,70 7 b-Klasse: s 2 = (1 – 3,1) 2 · 1 + (2 – 3,1) 2 · 2 + (3 – 3,1) 2 · 3 + (4 – 3,1) 2 · 3 + (5 – 3,1) 2 · 1 __________ 10 = 1,29 s ≈ 1,14 In der 7b-Klasse streuen die Punktezahlen stärker um den Mittelwert als in der 7 a-Klasse. 4) 7 a rel. Häufigkeit 1 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 2 3 4 5 x Punktezahl 7 b Punktezahl rel. Häufigkeit 1 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 2 3 4 5 x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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