194 10 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN BEISPIEL 3 Anzahl von „Kopf“ bei dreimaligem Münzwurf Eine Münze wird dreimal geworfen und die Anzahl X von „Kopf“ wird gezählt. X kann die Werte 0, 1, 2 oder 3 annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Werte von X ermitteln wir mithilfe des folgenden Baumdiagramms, wobei K für „Kopf“ und Z für „Zahl“ steht. Man erhält so: P (0-mal Kopf) = 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 = 1 _ 8 P (1-mal Kopf) = 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 + 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 + 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 = 3 _ 8 P (2-mal Kopf) = 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 + 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 + 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 = 3 _ 8 P (3-mal Kopf) = 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 = 1 _ 8 K Z K Z K Z K Z K Z K Z K Z 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Diese Wahrscheinlichkeiten sind in der folgenden Tabelle eingetragen und im Stabdiagramm dargestellt. Anzahl X von „Kopf“ 0 1 2 3 Wahrscheinlichkeit 1 _ 8 3 _ 8 3 _ 8 1 _ 8 Anzahl von Kopf P 0 1 2 3 3 8 1 8 BEISPIEL 4 Wurfanzahl bis zum ersten Sechser Ein Würfel wird so oft geworfen, bis erstmals der Sechser fällt. X zählt die Anzahl der dafür nötigen Würfe. X kann als Wert jede beliebige Zahl aus {1, 2, 3, … } annehmen. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Werte von X ermitteln wir anhand des nachfolgenden Baumdiagramms, das wir uns ohne Ende fortgesetzt denken. Wir erhalten so: P (Sechser kommt beim ersten Wurf) = 1 _ 6 ≈ 0,167 P (Sechser kommt beim zweiten Wurf) = 5 _ 6 · 1 _ 6 ≈ 0,139 P (Sechser kommt beim dritten Wurf) = ( 5 _ 6 ) 2 · 1 _ 6 ≈ 0,116 Allgemein ergibt sich: P (Sechser kommt beim n-ten Wurf) = ( 5 _ 6 ) n – 1 · 1 _ 6 Diese Wahrscheinlichkeiten sind in der folgenden Tabelle eingetragen und im Stabdiagramm dargestellt. Anzahl X der nötigen Würfe 1 2 3 … n Wahrscheinlichkeit 1 _ 6 ≈ 0,167 5 _ 6 · 1 _ 6 ≈ 0,139 ( 5 _ 6 ) 2 · 1 _ 6 ≈ 0,116 … ( 5 _ 6 ) n – 1 · 1 _ 6 Wurfanzahl bis zum ersten Sechser P 0,1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 0,2 6 ¬ 6 6 ¬ 6 6 ¬ 6 1 6 5 6 1 6 5 6 1 6 5 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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