195 10.2 Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Wir fassen die Gemeinsamkeiten der vorangegangenen Beispiele 1– 4 zusammen: In jedem dieser Beispiele liegt ein Zufallsversuch vor, bei dem eine bestimmte Variable untersucht wird. Die Werte der untersuchten Variablen sind Zahlen. Jedem Ausgang des betrachteten Zufallsversuchs kann genau ein Wert der untersuchten Variablen zugeordnet werden. Beim Wurf eines Würfels (Beispiel 1) wird zB dem Ausgang „3“ die Zahl 3 als Wert der Variablen „Augenzahl“ zugeordnet. Beim Wurf zweier Würfel (Beispiel 2) gehört zB zum Ausgang (4 1 6) die Zahl 10 als Wert der Variablen „Augensumme“. Beim dreimaligen Werfen einer Münze (Beispiel 3) ist zB die Zahl 2 der Wert des Ausgangs (K 1 K 1 Z) bezüglich der Variablen „Kopfanzahl“. Beim Wurf eines Würfels bis zum ersten Sechser wie in Beispiel 4 ist zB dem Ausgang (4 1 3 1 3 1 2 1 6) die Zahl 5 als Wert der Variablen „Wurfanzahl bis zum ersten Sechser“ zugeordnet. Vor der konkreten Versuchsdurchführung kann man nicht sagen, welchen Wert die betrachtete Variable annehmen wird. Der Wert der Variablen hängt vom Zufall ab. Deshalb bezeichnet man eine solche Variable als Zufallsvariable. Die Werte von Zufallsvariablen sind reelle Zahlen. Auch nominale und ordinale Variablen können nach geeigneter zahlenmäßiger Kodierung der Werte als Zufallsvariablen aufgefasst werden. ZB könnte man die Werte der ordinalen Variablen „Kleidergröße“ so kodieren: 0 = XS, 1 = S, 2 = M, 3 = L, 4 = XL Definition Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ausgang eines Zufallsversuchs genau eine reelle Zahl zu. Schreibweisen: • Zufallsvariablen bezeichnet man mit Großbuchstaben. • Hat eine Zufallsvariable X bei einer konkreten Versuchsdurchführung den Wert a, so schreibt man X = a. • Wahrscheinlichkeiten betreffend eine Zufallsvariable X schreibt man üblicherweise so an: – P(X = a)= Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert a annimmt, – P(X < a)= Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert kleiner als a annimmt, – P(a < X < b)= Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert zwischen a und b annimmt. P(X ª a), P (X > a), P(X º a), P(a ª X ª b), P(a ª X < b)und P (a < X ª b)verstehen sich analog. Wahrscheinlichkeitsverteilungen R In den vorangegangenen Beispielen 1, 2 und 3 haben wir jeweils eine Zufallsvariable X mit endlich vielen möglichen Werten a 1 , a 2 , …, a k betrachtet. Im Beispiel 4 hingegen wurde eine Zufallsvariable mit abzählbar unendlich vielen möglichen Werten a 1 , a 2 , a 3 … untersucht. „Abzählbar unendlich“ bedeutet hier, dass man die unendlich vielen Werte von X mithilfe der natürlichen Zahlen als Indizes durchnummerieren kann. Zufallsvariablen mit endlich vielen oder abzählbar unendlich vielen möglichen Werten bezeichnet man als diskrete Zufallsvariablen [discretus, lat. = getrennt]. Definition Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den endlich vielen möglichen Werten a 1 , a 2 , …, a k bzw. mit den abzählbar unendlich vielen möglichen Werten a 1 , a 2 , a 3 … . • Die Funktion P: a i ¦ P(X = a i) heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion von X oder Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. • Die Funktion F: a i ¦ P(X ª a i) heißt Verteilungsfunktion von X. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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