197 10.2 Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen 10.11 Eine Zufallsvariable X kann die Werte 1, 2, 3, 4, 5 annehmen. In der nebenstehenden Tabelle ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X angegeben. 1) Stelle die Wahrscheinlichkeitsfunktion P von X durch ein Stabdiagramm dar! 2) Stelle die Verteilungsfunktion F von X durch eine Tabelle und ein Stabdiagramm dar! 10.12 Eine Zufallsvariable X kann die Werte 1, 2, 3, 4, 5 annehmen. In der nebenstehenden Tabelle ist die Verteilungsfunktion F von X angegeben. 1) Stelle die Verteilungsfunktion F von X durch ein Stabdiagramm dar! 2) Stelle die Wahrscheinlichkeitsfunktion P von X durch eine Tabelle und ein Stabdiagramm dar! 10.13 Im Folgenden ist links die Verteilungsfunktion F einer Zufallsvariablen X dargestellt. Zeichne rechts die dazugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion P ein! ai F(ai ) 1 2 3 4 5 6 7 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 ai P(ai ) 1 2 3 4 5 6 7 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 Häufigkeitsverteilung und Wahrscheinlichkeitsverteilung R Wir betrachten bei einem Zufallsversuch eine diskrete Zufallsvariable X. Führen wir den Versuch n-mal unter gleichen Bedingungen durch, so sprechen wir von einer Versuchsserie der Länge n. Bezüglich einer solchen Versuchsserie kann man jedem Wert a i von X seine absolute Häufigkeit Hn (ai) bzw. relative Häufigkeit hn (a i) zuordnen. Diese Zuordnung nennt man absolute bzw. relative Häufigkeitsverteilung von X zur durchgeführten Versuchsserie. BEISPIEL X = Augensumme beim Wurf mit zwei Würfeln (vgl. Beispiel 2 auf Seite 193) Es werden drei Versuchsserien der Länge n = 20, n = 100 bzw. n = 1 000 durchgeführt. Im Folgenden sind die ermittelten relativen Häufigkeiten h n (a i) der Werte von X zu diesen drei Versuchsserien durch grüne Stäbe dargestellt. Die errechneten Wahrscheinlichkeiten P (a i) der Werte von X entsprechen dabei jeweils der Länge des zugehörigen Stabes bis zur roten Linie. 23456789101112 h Augensumme 6 36 1 36 n = 20 23456789101112 h Augensumme 6 36 1 36 n = 100 23456789101112 h Augensumme 6 36 1 36 n = 1 000 Man sieht: Mit zunehmender Länge n der Versuchsserie nähert sich die relative Häufigkeitsverteilung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X immer besser an. ai 1 2 3 4 5 P (ai) 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1 ai 1 2 3 4 5 F (ai) 0,1 0,2 0,6 0,8 1,0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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