198 10 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN Allgemein kann man feststellen: Bei zunehmender Anzahl n der Versuchsdurchführungen nähert sich für jeden Wert ai einer diskreten Zufallsvariablen X die relative Häufigkeit h n (a i) der Wahrscheinlichkeit P (a i). Dh. die relative Häufigkeitsverteilung von X nähert sich der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Die Art dieser Annäherung hängt aber vom konkreten Verlauf der Versuchsserie ab. Führt man mehrere Versuchsserien der Länge n durch, so erhält man i.A. für jede Serie eine etwas andere relative Häufigkeitsverteilung von X. Es gilt jedoch die folgende Erfahrungstatsache: Empirisches Gesetz der großen Zahlen Sei X eine diskrete Zufallsvariable eines Zufallsversuchs. Führt man für diesen Versuch mehrere Versuchsserien mit der großen Länge n durch, dann kann man erfahrungsgemäß feststellen: Die bei den einzelnen Versuchsserien erhaltenen relativen Häufigkeitsverteilungen von X weichen nur wenig voneinander ab und schwanken um die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. BEACHTE Das „empirische Gesetz der großen Zahlen“ ist kein mathematischer Satz, sondern nur eine Erfahrungstatsache (empirisch = erfahrungsgemäß). P (a i) darf nicht als Grenzwert der h n (a i) für n ¥ • aufgefasst werden, weil man nicht beweisen kann, dass es zu jedem vorgegebenen ε > 0 einen Index n0 gibt, sodass für alle n º n0 die Ungleichung | h n (a i) – P (a i) | < ε gilt. Man kann aber beweisen: Für jedes vorgegebene ε > 0 wird die Gültigkeit der Ungleichung | h n (a i) – P (a i) | º ε mit zunehmender Länge n der Versuchsserien immer unwahrscheinlicher. 10.14 Gruppenarbeit Führt den folgenden Zufallsversuch oft durch, zB 20-mal pro Person. Notiert nach jeder einzelnen Durchführung den erhaltenen Wert der Zufallsvariablen X. Fasst die Ergebnisse aller Durchführungen zusammen und ermittelt dann die relative Häufigkeitsverteilung von X! Vergleicht diese mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X im angeführten Beispiel! a) Zufallsversuch: Wurf zweier Würfel; X = Augensumme; Vergleich: Beispiel 2 auf Seite 193, b) Zufallsversuch: dreimaliger Münzwurf; X = „Kopfanzahl“; Vergleich: Beispiel 3 auf Seite 194. 10.15 In einem Parkhaus darf man höchstens drei Stunden parken, wobei jede angefangene Stunde als volle Stunde zu bezahlen ist. Für 400 Parkkunden wurde die zu bezahlende Parkdauer D erhoben: 226 Kunden bezahlten für eine, 143 Patienten für zwei und 31 Kunden für drei Stunden. Die zu bezahlenden Parkdauer D eines einfahrenden Fahrzeugs ist eine Zufallsvariable. Ermittle näherungsweise die Wahrscheinlichkeitsverteilung von D, stelle diese durch eine Tabelle dar und berechne näherungsweise P (D ª 2)! 10.16 Die Inkubationszeit einer Infektionskrankheit gibt die Zeit von der Ansteckung bis zum Ausbruch der Krankheit an. Für eine bestimmte Krankheit wurde bei 200 erkrankten Personen jeweils die Inkubationszeit T erhoben. Die folgende Tabelle fasst die Ergebnisse zusammen: Inkubationszeit T (in Tagen) 1 2 3 4 5 absolute Häufigkeit 21 65 86 26 2 Für eine zufällig ausgewählte erkrankte Person ist T eine Zufallsvariable. 1) Ermittle näherungsweise die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen T und stelle sie durch eine Tabelle dar! 2) Ermittle näherungsweise P (T º 2), P (T º 3) und P (T º 4)! AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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