199 10.3 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariablen 10.3 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariablen Erwartungswert einer Zufallsvariablen R 10.17 Spiel an einem 4-Sektor-Glücksrad Angenommen am nebenstehenden Glücksrad wird einmal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger in einem bestimmten Sektor stehenbleibt, ist in jedem Sektor eingetragen. Am Rand jedes Sektors ist der Gewinn in Euro angegeben, den man erhält, wenn der Zeiger diesen Sektor auswählt. Jonas dreht am Glücksrad sehr oft, beispielsweise 1 000-mal. Berechne den mittleren Gewinn, den Jonas pro Drehung erhält! LÖSUNG • Bei jeder Drehung kann die Zufallsvariable G = „Gewinn“ einen der Werte 0, 2, 5, 10 annehmen. • Wir drehen n-mal am Glücksrad. Dann werden die Werte von G mit den relativen Häufigkeiten h n (0), h n (2), h n (5) und h n (10) angenommen. • Der Mittelwert ‾xdes Gewinns pro Drehung lautet dann: ‾x= 0 · h n (0) + 2 · h n (2) + 5 · h n (5) + 10 · h n (10) • Weil n groß ist, werden die erhaltenen Häufigkeiten näherungsweise mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten übereinstimmen: h n (0) ≈ 0,4, h n (2) ≈ 0,3, h n (5) ≈ 0,2, h n (10) ≈ 0,1 • Damit ergibt sich: ‾x≈0·0,4+2·0,3+5·0,2+10·0,1=2,6 Der mittlere Gewinn pro Drehung beträgt also ca. 2,60 €. Wir verallgemeinern jetzt die Überlegung der letzten Aufgabe: Sei X eine Variable eines Zufallsversuchs mit den möglichen Werten a 1 , a 2 , …, a k . Führt man den Versuch n-mal durch, dann gilt für den Mittelwert ‾xvon X in der Versuchsserie: _ x = a 1 · h n (a 1) + a 2 · h n (a 2) + … + a k · h n (a k) Mit zunehmender Länge n der Versuchsserie nähern sich die relativen Häufigkeiten h n(a i) den Wahrscheinlichkeiten P (a i), für die wir kurz p i (1 ª i ª k) schreiben: ‾ x = a1 · hn (a1) + a2 · hn (a2) + … + ak · hn (ak) μ = a1 · p1 + a2 · p2 + … + ak · pk Für immer längere Versuchsserien nähert sich also der Mittelwert ‾xeiner Zahl μ , die man als Erwartungswert von X bezeichnet. Definition Ist X eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten a1 , a2 , …, ak , die mit den Wahrscheinlichkeiten p1 , p2 , …, pk angenommen werden, dann bezeichnet man μ =E(X)=a 1 · p 1 + a 2 · p 2 + … + a k · p k als Erwartungswert von X. Aufgrund der vorangegangenen Überlegungen kann man also sagen: Merke Der Erwartungswert μ einer Zufallsvariablen X ist näherungsweise gleich dem Mittelwert ‾ x der erhaltenen Werte von X bei häufiger Wiederholung des zugehörigen Zufallsversuchs. 0 0,4 0,3 0,2 0,1 2 5 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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