200 10 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN Wir ermitteln die Erwartungswerte einiger weiterer Zufallsvariablen: BEISPIEL 1 Z ufallsversuch: Wurf eines Würfels; Zufallsvariable A = geworfene Augenzahl. Da die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl 1 _ 6 ist, erhält man für den Erwartungswert von A: E (A) = 1 · 1 _ 6 +2· 1 _ 6 +3· 1 _ 6 +4· 1 _ 6 +5· 1 _ 6 +6· 1 _ 6 = 3,5. Man schließt daraus: Wird der Würfel sehr oft geworfen, dann beträgt der Mittelwert der erhaltenen Augenzahlen ca. 3,5. BEISPIEL 2 Z ufallsversuch: Wurf zweier Würfel; Zufallsvariable S = erhaltene Augensumme. Aufgrund der Wahrscheinlichkeitsverteilung zu Beispiel 2 auf Seite 193 erhält man: E (S) = 2 · 1 _ 36 +3· 2 _ 36 +…+7· 6 _ 36 +…+11· 2 _ 36 +12· 1 _ 36 = 7. Werden also die zwei Würfel sehr oft geworfen, dann beträgt der Mittelwert der erhaltenen Augensummen ca. 7. BEISPIEL 3 Z ufallsversuch: Dreimaliger Münzwurf; Zufallsvariable X = erhaltene Anzahl von „Kopf“. Aufgrund der Wahrscheinlichkeitsverteilung zu Beispiel 3 auf Seite 194 erhält man: E (X) = 0 · 1 _ 8 +1· 3 _ 8 +2· 3 _ 8 +3· 1 _ 8 = 1,5. Wird also der dreimalige Münzwurf sehr oft durchführt, dann beträgt der Mittelwert der erhaltenen Anzahlen von „Kopf“ ca. 1,5. 10.18 Zufallsversuch: Einmaliges Drehen am nebenstehend abgebildeten Glücksrad. Zufallsvariable A: Bleibt der Zeiger in einem Sektor stehen, wird der am jeweiligen Sektorrand angegebene Betrag A (in €) ausgezahlt. 1) Berechne den Erwartungswert E (A) der Auszahlung! 2) Interpretiere E (A) im Kontext! 3) Vor jeder Drehung muss man einen Einsatz von 2 € zahlen. Die Zufallsvariable G gibt bei einer Drehung den erzielten Gewinn (= Auszahlung minus Einsatz) an. Berechne den Erwartungswert E (G) und untersuche, ob gilt: E (G) = E (A) – Einsatz! 10.19 Zufallsversuch: Wurf zweier Würfel; Zufallsvariable: X = geworfenen Augenzahl des ersten Würfels, Y = geworfene Augenzahl des zweiten Würfels. Berechne den Erwartungswert der folgenden Zufallsvariablen: a) X · Y b) X – Y c) | X – Y | d) Maximum von X, Y 10.20 Bei einem Glücksspiel-Automaten muss man vor jedem Spiel 5 Jetons einsetzen. Nach Betätigung wirft der Automat zufällig 2 bis 10 Jetons aus. Bei 40 Spielen wurde jeweils die Anzahl der ausgeworfenen Jetons notiert: 2, 2, 7, 2, 3, 5, 10, 9, 6, 3, 2, 2, 3, 4, 4, 2, 10, 2, 4, 3, 3, 7, 5, 2, 4, 4, 2, 8, 6, 2, 3, 3, 4, 2, 6, 4, 3, 2, 4, 3 Gib den zu erwartenden Gewinn (= Ausgabe minus Einsatz) pro Spiel näherungsweise an! 10.21 Ein Spiel oder eine Wette heißt „fair“, wenn der Erwartungswert des Gewinns gleich 0 ist, dh. im Mittel verliert man kein Geld und erhält auch kein Geld. a) Leon wettet mit Marie, dass er auf die nächste Deutsch-Schularbeit ein Sehr gut bekommen wird. Die Wahrscheinlichkeit dafür schätzen beide mit 75 % ein. Leon setzt 20 € ein. Marie setzt 5 € ein, die an Leon im Gewinnfall samt seinem Einsatz ausgezahlt werden. Berechne den Erwartungswert von Leons Gewinn G und prüfe, ob diese Wette fair ist! b) Bei einem Spiel mit e € Einsatz gewinnt man mit der Wahrscheinlichkeit p und erhält im Gewinnfall a € ausgezahlt. Berechne, in welchem Verhältnis der Einsatz e zur Auszahlung a stehen muss, damit das Spiel fair ist! 10.22 In einer Urne sind 3 schwarze und 2 weiße Kugeln. Es wird ohne Zurücklegen gezogen, bis man beide weißen Kugeln erhalten hat. X ist die Anzahl der dazu nötigen Ziehungen. Berechne E (X)! Ó Lernapplet 9i762c AUFGABEN R 1 2 1 6 1 4 1 12 1 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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