201 10.3 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariablen Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariablen R Wir betrachten eine Zufallsvariable X mit den möglichen Werten a 1 , a 2 , …, a k , die mit den absoluten Häufigkeiten H 1 , H 2 , …, H k bzw. den relativen Häufigkeiten h 1 , h 2 , …, h k eintreten. Bei n-maliger Durchführung des Zufallsversuchs lautet die empirische Varianz der erhaltenen Werte: s 2 = (a 1 – ‾x ) 2 · H 1 + (a 2 – ‾x ) 2 · H 2 + … + (a k – ‾x) · H k _______ n = (a 1 – ‾x ) 2 · H 1 _ n + (a 2 – ‾x ) 2 · H 2 _ n +…+(a k – ‾x ) · H k _ n = = (a 1 – ‾x ) 2 · h 1 + (a 2 – ‾x ) 2 · h 2 + … + (a k – ‾x) · h k Mit zunehmendem n nähert sich der Mittelwert ‾xder erhaltenen Werte dem Erwartungswert μ der Zufallsvariablen X und die relativen Häufigkeiten h n (a i) nähern sich den Wahrscheinlichkeiten p i = P (a i): s2 = (a 1 – ‾x ) 2 · h n (a1) + (a2 – ‾x ) 2 · h n (a2) + … + (ak – ‾x ) 2 · h n (ak) σ 2 = (a 1 – μ) 2 · p 1 + (a2 – μ) 2 · p 2 + … + (ak – μ) 2 · p k Die Zahl σ 2, der sich die empirische Varianz der erhaltenen Werte dabei nähert, wird als Varianz der Zufallsvariablen X bezeichnet. Definition Ist X eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten a1 , a2 , …, ak , die mit den Wahrscheinlichkeiten p1 , p2 , …, pk angenommen werden, dann nennt man σ 2 =V(X) = (a 1 – μ) 2 · p 1 + (a 2 – μ) 2 · p 2 + … + (a k – μ) 2 · p k die Varianz von X. Die Zahl σ = � _ V (X) heißt Standardabweichung von X. Aufgrund der vorangegangenen Überlegungen kann man also sagen: Merke Die Varianz σ 2 bzw. Standardabweichung σ einer Zufallsvariablen X ist näherungsweise gleich der empirischen Varianz s2 bzw. der empirischen Standardabweichung s der erhaltenen Werte von X bei oftmaliger Wiederholung des zugehörigen Zufallsversuchs. Ohne Technologieunterstützung berechnet man die Varianz einfacher auf folgende Art: Satz (Verschiebungssatz für die Varianz einer Zufallsvariablen) σ 2 =V(X) = a 1 2 · p 1 + a 2 2 · p 2 +…+a k 2 · p k – μ 2 BEWEIS σ 2 = (a 1 – μ) 2 · p 1 + (a 2 – μ) 2 · p 2 + … + (a k – μ) 2 · p k = = (a 1 2 – 2 a 1 μ + μ 2) · p 1 + (a 2 2 – 2 a 2 μ + μ 2) · p 2 + … + (a k 2 – 2 a k μ + μ 2) · p k = = a 1 2 · p 1 + a 2 2 · p 2 + … + a k 2 · p k – – 2 μ · (a 1 p 1 + a 2 p 2 + … + a k p k) μ + μ 2 · (p 1 + p 2 + … + p k) 1 = = a 1 2 · p 1 + a 2 2 · p 2 + … + a k 2 · p k – 2 μ 2 + μ 2 = a 1 2 · p 1 + a 2 2 · p 2 + … + a k 2 · p k – μ 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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