202 10 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 10.23 Berechne Varianz und Standardabweichung der Variablen X des folgenden Zufallsversuchs! Interpretiere die Ergebnisse im Zusammenhang mit häufiger Wiederholung des Zufallsversuchs! a) Zufallsversuch: Wurf eines Würfels; Zufallsvariable X = geworfene Augenzahl b) Zufallsversuch: Wurf zweier Würfel; Zufallsvariable X = erhaltene Augensumme c) Zufallsversuch: Dreimaliger Münzwurf; Zufallsvariable X = erhaltene „Kopfanzahl“ 10.24 Sofie spielt beim Roulette so: Sie setzt einen Jeton auf „17“. Falls „17“ kommt, erhält sie 36 Jetons ausgezahlt, ihr Gewinn ist also 35 Jetons. Andernfalls geht ihr Jeton an die Bank, ihr Gewinn beträgt dann –1 Jeton. Berechne Erwartungswert und Varianz von Sofies Gewinn! 10.25 Johannes ist vorsichtig und spielt beim Roulette so: Er setzt einen Jeton auf „Rot“. Falls „Rot“ kommt, erhält er 2 Jetons ausgezahlt, sein Gewinn ist also 1 Jeton. Andernfalls beträgt sein Gewinn –1 Jeton. Berechne Erwartungswert und Varianz des Gewinns von Johannes! 10.26 Bei einem Maturaball werden 300 Lose verkauft. Davon sind 150 Nieten ohne Preisgeld. Bei 100 Losen werden jeweils 2 €, bei 40 Losen werden jeweils 5 € und bei 9 Losen werden jeweils 8 € als Preisgeld ausgezahlt. Der Haupttreffer bringt ein Preisgeld von 100 €. 1) Berechne Erwartungswert und Standardabweichung des erhaltenen Preisgeldes bei Kauf eines Loses! 2) Ein Los kostet 2 €. Berechne Erwartungswert und Standardabweichung des Gewinns (= Preisgeld – Kaufpreis) bei Kauf eines Loses! Ist der Loskauf „fair“? 10.27 Bei einem Zufallsversuch hat die Zufallsvariable X die beiden möglichen Werte 0 und 1. Der Wert 1 wird mit der Wahrscheinlichkeit p angenommen. Ermittle E (X) und V (X)! 10.28 In einer Urne sind vier Kugeln, die mit den Nummern 1, 2, 3 und 4 beschriftet sind. Es werden nacheinander zwei Kugeln a) mit Zurücklegen, b) ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsvariable X gibt die Summe der Nummern der gezogenen Kugeln. Berechne E(X) und V (X)! 10.29 Das nebenstehend abgebildete Glücksrad wird zweimal gedreht. Nach jedem Drehen wird jener Betrag in € ausgezahlt, der am Rand des ausgewählten Sektors angeschrieben ist. Die Zufallsvariable X gibt das Produkt der ausgezahlten Beträge an. Berechne E (X) und V (X)! 10.30 Maks legt gut gemischt die Karten Bube, Dame, König, Zehner und Ass der Farbe Herz verdeckt auf einen Stapel. Er zieht nacheinander ohne Zurücklegen immer eine Karte vom Stapel, bis er das Ass in Händen hat. Die Zufallsvariable Z gibt die Anzahl der dazu nötigen Ziehungen an! 1) Gib die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Z an! 2) Berechne E(Z)und V (Z)! 10.31 Bei einem 3-Sektor-Glücksrad sind die Sektoren A und C gleich groß, der Sektor B ist doppelt so groß wie der Sektor A. Die Sektoren sind mit folgenden Gewinnzahlen beschriftet: A mit 5, B mit 10 und C mit 20. Am Glücksrad wird einmal gedreht. G gibt die dabei erhaltene Gewinnzahl an! 1) Gib die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen G in Tabellenform an! 2) Berechne E(G)und die Standardabweichung von G! 10.32 Magic Tobias versucht seinen schwierigsten Trick, der nur mit 30 %-iger Wahrscheinlichkeit gelingt, pro Vorstellung bis zum Gelingen höchstens viermal. N gibt die Anzahl der unternommenen Versuche dieses Tricks bei einer Vorstellung an. Berechne E (N) und V (N)! AUFGABEN R 2 1 4 1 2 1 3 1 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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