205 KOMPETENZCHECK 10.39 Auf einem Geflügelhof werden die Hühnereier nach EU-Norm in vier Gewichtsklassen eingeteilt: XL (sehr groß), L (groß), M (mittel), S (klein). In der Tabelle ist angegeben, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ei in der jeweils angegebenen Gewichtsklasse liegt und wie groß der Reingewinn (in €) pro Ei in dieser Gewichtsklasse ist. Gewichtsklasse XL L M S Wahrscheinlichkeit 0,1 0,3 0,4 0,2 Reingewinn pro Ei 0,1 0,07 0,05 0,01 Berechne den zu erwartenden Reingewinn pro Ei, bezogen auf die Gesamtproduktion des Geflügelhofs! 10.40 Bei einem Glücksspiel-Automaten werden bei 20 c Einsatz pro Spiel 0 c, 20 c, 50 c oder 100 c ausbezahlt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Auszahlung ist in der Tabelle angegeben. Auszahlung (in c) 0 20 50 100 Wahrscheinlichkeit 0,60 0,25 0,10 0,05 Entscheide durch Rechnung, ob sich das Spielen an diesem Automaten lohnt! 10.41 Alena und Boris vereinbaren folgendes Spiel: Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt. Unterscheiden sich die Augenzahlen höchstens um 1, so bekommt Alena von Boris 5€; ansonsten bekommt Boris von Alena 4 €. Untersuche, ob das Spiel „fair“ ist, dh. ob die Erwartungswerte des Gewinns für Alena und Boris gleich hoch sind! 10.42 Im nebenstehenden Diagramm ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion P einer Zufallsvariablen X dargestellt. F ist die zugehörige Verteilungsfunktion von X. Fülle die Tabelle aus und berechne E (X)! ai P (X = ai) F (X ª ai) ai P(ai ) 1 2 3 4 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 E (X) = 10.43 Ein Industriebetrieb weiß aus Erfahrung, dass jeder Störfall an einer Maschine auf genau einen der drei Störungstypen A, B und C zurückgeführt werden kann. Die Wahrscheinlichkeiten für diese Störungstypen und die damit verbundenen Reparaturkosten pro Störfall und Maschine sind in folgender Tabelle zu finden: Störungstyp A B C Wahrscheinlichkeit 0,2 0,7 0,1 Reparaturkosten pro Störfall und Maschine (in €) 15 000 2 000 7 000 Berechne die zu erwartenden Reparaturkosten pro Störfall und Maschine! 10.44 Die Zufallsvariablen X kann die Werte a 1 , a 2 , …, a k annehmen. Beweise: 1) W ird jeder Wert a i von X verdoppelt, so verdoppelt sich auch E (X). 2) W ird jeder Wert a i von X um 1 erhöht, so erhöht sich auch E (X) um 1. WS-R 3.1 WS-R 3.1 WS-R 3.1 WS-R 3.1 WS-R 3.1 WS-R 3.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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