209 11.1 Fakultäten und Binomialkoeffizienten Wir verallgemeinern die Ergebnisse der letzten Aufgabe als Produktregel der Kombinatorik: Satz (Produktregel) Bei einem Entscheidungsprozess sind n Auswahloptionen zu treffen. Gibt es für die erste Entscheidung a 1 Möglichkeiten, für die zweite Entscheidung a 2 Möglichkeiten, …, für die n-te Entscheidung a n Möglichkeiten, dann gibt es insgesamt a 1 · a 2 · … · a n Möglichkeiten, den Entscheidungsprozess abzuschließen. 11.02 Eine Bühne wird von fünf Scheinwerfern beleuchtet. Die drei Scheinwerfer auf der linken Bühnenseite können in jeweils fünf Beleuchtungsstärken eingestellt werden, die beiden Scheinwerfer auf der rechten Seite nur in jeweils drei Beleuchtungsstärken. Berechne, auf wie viele verschiedene Beleuchtungsarten die Bühne ausgeleuchtet werden kann! 11.03 Der PIN-Code bei Kreditkarten ist eine vierstellige Ziffernfolge, bei der die Ziffern 0, 1, …, 9 (auch mehrmals) verwendet werden. Berechne, wie viele PIN-Codes überhaupt möglich sind! 11.04 Basentripletts sind die kleinsten Einheiten des genetischen Codes. Basentripletts sind geordnete Dreierkombinationen aus den vier Basen Guanin (G), Cytosin (C), Adenin (A) und Thymin (T). Berechne, wie viele Basentripletts grundsätzlich möglich sind! 11.05 Ein Fahrradschloss besteht aus drei drehbaren Ringen, von denen jeder mit den Ziffern 0, 1, 2, …, 9 versehen ist. Nur bei einer bestimmten Einstellung der drei Ringe lässt sich das Schloss öffnen. Berechne, wie viele Einstellungen insgesamt möglich sind! 11.06 Zur Speicherung der Ziffer 0 oder der Ziffer 1 benötigt man eine Speicherkapazität von 1 Bit. Berechne, wie viele verschiedene 0-1-Folgen man mit 1 Byte (= 8 Bit) speichern kann! Fakultäten R 11.07 Auf einer Lichtschiene werden nacheinander 1) zwei, 2) drei, 3) vier, 4) n verschiedenfarbige Spots angebracht. Berechne, wie viele Anordnungen der Spots auf dieser Schiene möglich sind! LÖSUNG 1) Sind a und b die Spotfarben, dann gibt es nur die zwei Anordnungen ab und ba. 2) Bezeichnen wir die Farben der Spots mit a, b und c, dann kann man die sechs möglichen Anordnungen lexikografisch (dh. geordnet wie im Wörterbuch) so anschreiben: abc, acb, bac, bca, cab, cba 3) Man könnte wiederum alle möglichen Anordnungen lexikografisch anschreiben und diese abzählen. Wir überlegen besser so: Für die Auswahl der erste Farbe haben wir 4 Möglichkeiten, für die zweite Farbe 3 Möglichkeiten, für die dritte Farbe 2 Möglichkeiten, für die vierte Farbe bleibt nur mehr eine Möglichkeit übrig. Nach der Produktregel gibt es daher 4 · 3 · 2 · 1 = 24 mögliche Auswahlentscheidungen und damit 24 Anordnungen der vier Farben. 4) Analog zu 3) kann man überlegen: Es gibt n · (n – 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 mögliche Anordnungen der n Spots. AUFGABEN R UCAGUCAGUCAGUCAGUCAGUCAGUCAGUCAGUCAGUCAGUCAGUCAGUCAGUCAGUCAGUCAG G U A C U U U U C C C C A A A A G G G G Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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