210 11 DIE BINOMIALVERTEILUNG UND WEITERE VERTEILUNGEN Ausgehend von der letzten Aufgabe definieren wir: Definition (Fakultät) • Für n * N*setzt man: n ! = n · (n – 1) · (n – 2)·…·2·1 Die Schreibweise n! wird gelesen als n-Fakultät oder n-Faktorielle. • Ergänzend setzt man: 0 ! = 1 BEMERKUNG E ine Anordnung von n Objekten bezeichnet man in der Kombinatorik auch als Permutation der Ordnung n. Damit kann das Ergebnis von Aufgabe 11.07 4) allgemein so formuliert werden: Satz Für n unterscheidbare Objekte gibt es n ! verschiedene Anordnungen bzw. Permutationen. 11.08 Die acht Mädchen der Gymnastikgruppe Oktett sollen sich nacheinander aufstellen. Berechne, auf wie viele Arten dies möglich ist! 11.09 An einer schriftlichen Prüfung nehmen 10 Personen teil. Jeder Person wird ein nummerierter Sitzplatz zugeordnet. Berechne, wie viele Sitzordnungen dabei möglich sind! 11.10 Berechne, wie viele Möglichkeiten der Coach einer Fußballmannschaft hat, die Reihenfolge der fünf für ein Elfmeterschießen ausgewählten Schützen zu bestimmen! 11.11 Berechne 2 !, 5!, 10!, 15!und 20!und überprüfe damit die folgende Aussage: Die Zahl n! nimmt mit wachsendem n sehr schnell zu. Binomialkoeffizienten R 11.12 Ermittle, 1) wie viele 3-elementige Teilmengen die 4-elementige Menge M = {a, b, c, d}, 2) wie viele k-elementige Teilmengen eine n-elementige Menge M enthält! LÖSUNG 1) Weil es beim Anschreiben von Mengen auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt, lauten die vier 3-elementigen Teilmengen von M in lexikografischer Ordnung: {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}. Die Anzahl dieser Teilmengen ermittelt man ohne Aufzählung kurz so: Aus der Menge M = {a, b, c, d} wählen wir der Reihe nach drei Elemente aus. Nach der Produktregel gibt es dafür 4 · 3 · 2 = 24Möglichkeiten. Immer 3! dieser geordneten Auswahlen liefern aber dieselbe Teilmenge von M, weil sie dieselben Elemente nur in unterschiedlicher Reihenfolge enthalten. Daher gilt: Anzahl der 3-elementigen Teilmengen von M = 4 · 3 · 2 __ 3 ! = 24 _ 6 = 4 2) Analog zu 1) erhalten wir: Es gibt n · (n – 1) · (n – 2) · … · (n – k + 1) Möglichkeiten, k Elemente der Reihe nach aus der Menge M auszuwählen. Immer k! dieser geordneten Auswahlen liefern dieselbe Teilmenge von M. Die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen von M lautet daher: n · (n – 1) · (n – 2) · … · (n – k + 1) _____ k ! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · (n – k + 1) _____ k · (k – 1) · (k – 2) · … · 1 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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