211 11.1 Fakultäten und Binomialkoeffizienten Definition (Binomialkoeffizienten) • Für n , k * N*mit k ª nsetzt man: ( n k ) = n · (n – 1) · (n – 2) · … · (n – k + 1) _____ k · (k – 1) · (k – 2) · … · 1 = n ! __ k ! · (n – k) ! Die Schreibweise ( n k ) wird gelesen als „n über k“. • Ergänzend setzt man für n * N: ( n 0 ) = 1 • Die Zahlen ( n k ) nennt man Binomialkoeffizienten. Mit dieser Definition kann das Ergebnis von Aufgabe 11.12 2) so formuliert werden: Satz Jede n-elementige Menge enthält genau ( n k ) k-elementige Teilmengen. BEISPIEL Die Anzahl der 3-elementigen Teilmengen einer 9-elementigen Menge beträgt: ( 9 3 ) = 9 ! __ 3!(9 – 3)! = 9 ! _ 3 ! 6 ! = 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 ____ 3 · 2 · 1 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 9 · 8 · 7 __ 3 · 2 · 1 = 84 BEMERKUNG Wegen ( n 0 ) = 1gilt der letzte Satz auch für k = 0, denn jede n-elementige Menge hat genau eine 0-elementige Teilmenge, nämlich die leere Menge. Konkretes Ermitteln der Werte von Binomialkoeffizienten: • Binomialkoeffizienten können mittels Technologieeinsatz berechnet werden. • Ohne Technologie berechnet man Binomialkoeffizienten ( n k )geschickt so: Man schreibt zuerst einen Bruch mit dem Nenner k · (k – 1) · (k – 2) · … · 1an. Dann ergänzt man im Zähler das Produkt n · (n – 1) · (n – 2) · …mit gleich vielen Faktoren wie im Nenner. Binomialkoeffizienten sind stets ganzzahlig, daher kann man den erhaltenen Bruch vollständig kürzen. 11.13 Berechne ohne und mit Technologieeinsatz! a) ( 6 4 ) b) ( 8 3 ) c) ( 9 5 ) d) ( 10 6 ) e) ( 12 7 ) f) ( 15 14 ) 11.14 Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! ( n 0 ) = 0 ( n 1 ) = 1 ( n n ) = n ( n 2 ) = n · (n – 1) __ 2 ( n 2 ) = ( n n – 2 ) 11.15 Berechne, wie viele 5-elementige Teilmengen a) eine 8-elementige Menge, b) eine 20-elementige Menge, c) eine 50-elementige Menge enthält! 11.16 Berechne, wie viele vierelementige Teilmengen die Menge {a, b, c, d, e, f} besitzt! Schreibe alle diese Teilmengen in lexikografischer Ordnung an! 11.17 Aus dem 7-köpfigen Vorstand eines Vereins soll a) ein Zweierkomitee, b) ein Viererkomitee ausgewählt werden. Berechne, auf wie viele Arten dies möglich ist! kompakt S. 226 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==