212 11 DIE BINOMIALVERTEILUNG UND WEITERE VERTEILUNGEN 11.18 Bei einer Prüfung werden aus einer Liste von 30 Fragen fünf Fragen ausgewählt. Berechne, auf wie viele Arten eine solche Auswahl möglich ist! 11.19 Bei einem Fest sind a) 20 Personen, b) 30 Personen anwesend. Während des Festes gibt jede Person jeder anderen Person die Hand. Berechne, wie oft Hände geschüttelt werden! 11.20 Fußballcup-Spiele werden manchmal durch Elfmeterschießen entschieden. Jeder der beiden Trainer muss dabei 5 seiner 11 Spieler auf dem Platz als Schützen benennen. Berechne, wie viele Möglichkeiten jeder Trainer hat, diese Auswahl zu treffen! 11.21 Von n Punkten in der Ebene sollen nie mehr als zwei Punkte auf derselben Geraden liegen. Gib eine Formel für die Anzahl G der möglichen Geraden durch je zwei dieser Punkte an! 11.22 Leite eine Formel für die Anzahl d der Diagonalen eines n-Ecks her! Kontrolliere die Formel für n = 4und n = 5! HINWEIS Klarerweise zählen die Seiten des n-Ecks nicht zu den Diagonalen. „Sinnlose Wörter“ R Im Folgenden bezeichnen wir jede Zeichenfolge, die man mithilfe von zwei Buchstaben bilden kann, als „sinnloses Wort“. Die Zeichenanzahl in einem solchen „Wort“ nennen wir dessen Länge. Beispielsweise ist ababba ein „sinnloses Wort“ aus den Buchstaben a und b der Länge 6. Anzahlen von „sinnlosen Wörter“ berechnet man schnell mithilfe des folgenden Satzes: Satz Die Anzahl der aus den Buchstaben a und b gebildeten „sinnlosen Wörter“ der Länge n, in denen a genau k-mal vorkommt, ist gleich ( n k ). BEWEIS Wir nummerieren die Buchstaben eines solchen Wortes mit den „Platznummern“ 1, 2, 3, …, ndurch. Jedem Buchstaben a des Wortes entspricht dann eine bestimmte „Platznummer". Den k Buchstaben a des Wortes entspricht genau eine k-elementige Teilmenge der Menge M = {1, 2, 3, …, n} und umgekehrt. Da es ( n k ) k-elementige Teilmengen von M gibt, gibt es auch ( n k ) solche Wörter. 11.23 Aus den Buchstaben a und b sollen „sinnlose Wörter“ der Länge 4 gebildet werden, in denen a genau zweimal vorkommt! Ermittle, wie viele solche „Wörter“ es gibt! LÖSUNG Durch lexikografisches Anschreiben erhält man 6 solche Wörter: aabb, abab, abba, baab, baba, bbaa. Die Kontrolle durch Rechnung liefert: Es gibt ( 4 2 ) = 6 „sinnlose Wörter“ der Länge 4, in denen a genau zweimal vorkommt. Merke Der Binomialkoeffizient ( n k ) hat zwei Bedeutungen: • ( n k ) = Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge • ( n k ) = Anzahl der „sinnlosen Wörter“ der Länge n aus den Buchstaben a und b, in denen a genau k-mal vorkommt. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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