213 11.1 Fakultäten und Binomialkoeffizienten 11.24 Berechne, wie viele Wörter der Länge 10 man aus den Buchstaben u und v bilden kann, wenn v a) nie, b) genau zweimal, c) genau fünfmal, d) genau siebenmal, e) genau zehnmal vorkommen soll! 11.25 Bei einer Prüfung sind 10 Fragen zu beantworten. Die Prüfung gilt als bestanden, wenn mindestens 8 Fragen richtig beantwortet werden. Berechne, wie viele Möglichkeiten es gibt, a) genau 8, b) genau 9, c) alle Fragen richtig zu beantworten! HINWEIS Bilde „sinnlose Wörter“ aus den Buchstaben r (richtig) und f (falsch)! 11.26 Eine Lichtschiene kann von links nach rechts nacheinander mit 9 Lampen bestückt werden. Die Lampen können getrennt voneinander ein- oder ausgeschaltet werden. Berechne, auf wie viele Arten die Schiene in Betrieb sein kann, wenn genau a) 3, b) 5, c) 7 Lampen leuchten sollen! HINWEIS Bilde „sinnlose Wörter“ mit den Buchstaben e (ein) und a (aus)! 11.27 Stelle den grün gezeichneten Weg von A nach B als Wort aus den Buchstaben r (nach rechts) und o (nach oben) dar! Berechne, wie viele Wege von A nach B im Raster möglich sind! a) A B b) A B c) A B 11.28 Berechne, wie viel Arten es gibt, a) sechs verschiedenfarbige Kugeln, b) drei gleichartige rote und drei gleichartige blaue Kugeln nacheinander von links nach rechts aufzureihen! Eigenschaften der Binomialkoeffizienten R Satz (1) ( n 0 ) = ( n n ) = 1 (n * N*) (2) ( n k ) = ( n n – k ) (n, k * N*mit k ª n) (3) ( n k ) = ( n – 1 k – 1 ) + ( n – 1 k ) (n, k * N*mit n º 2und 1 ª k ª n – 1) BEWEIS (1) Folgt direkt aus der Definition der Binomialkoeffizienten. (2) ( n n – k ) = n ! ___ (n–k)!·(n–n+k)! = n ! __ (n–k)!·k! = ( n k ) (3) ( n – 1 k – 1 ) + ( n – 1 k ) = (n – 1) ! ___ (k–1)!·(n–k)! + (n – 1) ! ___ k!·(n–1–k)! = (n–1)!·k __ k!·(n–k)! + (n–1)!·(n–k) ___ k!·(n–k)! = (n–1)!·k+(n–1)!·(n–k) ____ k!·(n–k)! = (n–1)!·(k+n–k) ___ k!·(n–k)! = n ! __ k!·(n–k)! = ( n k ) AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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