214 11 DIE BINOMIALVERTEILUNG UND WEITERE VERTEILUNGEN Man kann die Binomialkoeffizienten in Form des sogenannten Pascal’schen Dreiecks anordnen: 0 0 1 0 1 1 2 0 2 1 2 2 3 0 3 1 3 2 3 3 4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 6 4 1 4 1 + + Im Pascal’schen Dreieck drücken sich die Eigenschaften der Binomialkoeffizienten so aus: (1) W egen ( n 0 ) = ( n n ) = 1steht am linken und am rechten Rand jeder Zeile stets 1. (2) W egen ( n k ) = ( n n – k ) sind die Binomialkoeffizienten in jeder Zeile symmetrisch angeordnet. (3) W egen ( n k ) = ( n – 1 k – 1 ) + ( n – 1 k ) ist jede Zahl, die nicht am Rand liegt, die Summe der beiden unmittelbar darüberstehenden Zahlen, wie oben beispielhaft dargestellt. Auf diese Weise kann man das Pascal’sche Dreieck mit wenig Aufwand beliebig erweitern. Mithilfe der Binomialkoeffizienten kann man bekannte binomische Formeln verallgemeinern. Satz (Binomischer Lehrsatz) Für alle a , b * R und alle n * N* gilt: (a + b) n = ( n 0 ) a n b 0 + ( n 1 ) a n – 1 b 1 + ( n 2 ) a n – 2 b 2 + … + ( n n ) a 0 b n BEWEIS (a + b) n ist das Produkt der n gleichen Faktoren (a + b). Multipliziert man alle n Klammern (a + b) aus, so erhält man eine Summe von lauter Termen der Form a n · b 0, a n – 1 b 1, ⋯, a 0 b n. Jeder dieser Summanden a k · b n – k entsteht dadurch, dass man a aus k Klammern, b aus den restlichen n – kKlammern auswählt und die ausgewählten Elemente miteinander multipliziert. Jeder dieser Summanden entspricht damit einem „sinnlosen Wort“ der Länge n aus den Buchstaben a und b, in dem a genau k-mal vorkommt. Es gibt ( n k ) solche Wörter. Daher kommt jeder Summand a k · b n – k genau ( n k )-mal vor. Die bekannten binomischen Formeln für (a + b)2 und (a + b)3 sind somit Spezialfälle des binomischen Lehrsatzes für n = 2und n = 3: (a + b) 2 = ( 2 0 ) · a 2 b 0 + ( 2 1 ) · a 1 b 1 + ( 2 2 ) · a 0 b 2 = a 2 + 2ab + b2 (a + b) 3 = ( 3 0 ) · a 3 b 0 + ( 3 1 ) · a 2 b 1 + ( 3 2 ) · a 1 b 2 + ( 3 3 ) · a 0 b 3 = a 3 + 3 a2 b + 3ab 2 + b 3 11.29 Schreibe das Pascal´sche Dreieck vollständig bis zur Zeile n = 7 an! 11.30 1) B eweise für n * N*: ( n 0 ) + ( n 1 ) + … + ( n n ) = 2 n HINWEIS Wähle im Binomischen Lehrsatz passende Werte für a und b! 2) Begründe mithilfe von 1), dass jede n-elementige Menge M genau 2 n Teilmengen besitzt! Blaise Pascal (1623 – 1662) AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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