215 11.2 Die Binomialverteilung 11.2 Die Binomialverteilung Bernoulli-Experimente R In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit mehrstufigen Bernoulli- Experimenten. Als Musterbeispiel für ein solches Zufallsexperiment kann das n-malige Drehen eines 2-Sektor-Glücksrads dienen. • Ein solches Glücksrad hat zwei Sektoren, die zB mit E(„Erfolg“) und ¬ E („Nichterfolg“) beschriftet sind (siehe Abbildung). • Das Glücksrad wird n-mal unter gleichen Bedingungen gedreht, dh. die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger im Sektor E stehenbleibt, ändert sich von Drehung zu Drehung nicht. BEISPIELE FÜR BERNOULLI-EXPERIMENTE • Aus einer Urne mit 4 schwarzen und 3 weißen Kugeln wird 5-mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Man untersucht jeweils, ob die Kugel schwarz (E) oder weiß (¬ E)ist. • Ein Würfel wird 4-mal geworfen und es wird jeweils festgestellt, ob ein Sechser (E) oder kein Sechser (¬ E)gefallen ist. • Aus einer Massenproduktion, die erfahrungsgemäß 5 % defekte Teile enthält, wird eine Stichprobe von 1 000 Teilen entnommen. Es wird jeweils festgestellt, ob das entnommene Teil defekt (E) oder nicht defekt (¬ E)ist. Definition • Ein Zufallsversuch mit nur zwei möglichen Versuchsausgängen heißt Bernoulli- Experiment. Die beiden Versuchsausgänge nennt man oft „Erfolg“ und „Nichterfolg“. • Wiederholt man ein Bernoulli-Experiment n-mal unter gleichen Bedingungen, dann liegt ein n-stufiges Bernoulli-Experiment bzw. eine n-stufige Bernoulli-Kette vor. Merke Bei n-stufigen Bernoulli-Experimenten ist die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs konstant. BEMERKUNG Die Bezeichnungen Bernoulli-Experiment bzw. Bernoulli-Kette gehen auf den Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli, einen der Begründer der Wahrscheinlichkeitsrechnung zurück. Binomialverteilte Zufallsvariable R In der folgenden Aufgabe gehen wir von einem mehrstufigen Bernoulli-Experiment aus. Dabei betrachten wir eine Zufallsvariable H, welche die zugehörige Erfolgshäufigkeit angibt: H zählt, wie oft bei diesem Bernoulli-Experiment ein Erfolg eintritt. Wir untersuchen die Wahrscheinlichkeitsverteilung von H. E ¬ E Jakob Bernoulli (1654 – 1705) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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