216 11 DIE BINOMIALVERTEILUNG UND WEITERE VERTEILUNGEN 11.31 Bei einem 2-Sektor-Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Sektor E (Erfolg) bzw. der Sektor ¬ E(Nichterfolg) ausgewählt wird, 5 _ 12 bzw. 7 _ 12 . Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Es liegt damit ein 2-stufiges Bernoulli-Experiment vor. Die zugehörige Erfolgshäufigkeit H ist eine Zufallsvariable mit den Werten 0, 1, 2. Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von H durch eine Tabelle und ein Stabdiagramm dar! LÖSUNG Anhand des nebenstehenden Baumdiagramms berechnen wir: P (H = 0) = 7 _ 12 · 7 _ 12 ≈ 0,34 P (H = 1) = 5 _ 12 · 7 _ 12 + 7 _ 12 · 5 _ 12 ≈ 0,49 Stabdiagramm: P (H = 2) = 5 _ 12 · 5 _ 12 ≈ 0,17 TABELLE: k 0 1 2 P (H = k) 0,34 0,49 0,17 k P (H = k) 0 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 1 2 Wir verallgemeinern die Aufgabe 11.31 und betrachten nun ein beliebiges n-stufiges Bernoulli-Experiment. Bei jedem der n Teilversuche tritt ein Erfolg E mit der Wahrscheinlichkeit p und ein Nichterfolg ¬E mit der Wahrscheinlichkeit 1 – p ein. Die zugehörige Erfolgshäufigkeit H zählt, wie oft ein Erfolg bei den n Teilversuchen eintritt. H ist eine Zufallsvariable mit den Werten 0, 1, 2, …, n. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P (H = k), dass genau k Erfolge eintreten? Wir stellen den Anfangsverlauf des n-stufigen Bernoulli-Experiments im nebenstehenden Baumdiagramm dar. Jeder Ausgang des n-stufigen Experiments, der genau k Erfolge enthält, entspricht einem von der Spitze ausgehenden, aus n Strecken bestehenden Weg, der E genau k-mal enthält, und tritt mit der Wahrscheinlichkeit pk · (1 – p)n – k ein. Jeder Ausgang des n-stufigen Bernoulli-Experiments, der genau k Erfolge enthält, entspricht einem „sinnlosen Wort“ der Länge n aus den Symbolen E und ¬E, in dem E genau k-mal vorkommt. Da es ( n k ) solche Wörter gibt, gibt es auch ( n k ) Ausgänge des n-stufigen Bernoulli-Experiments, die genau k Erfolge enthalten. Die Wahrscheinlichkeit, bei diesem n-stufigen Bernoulli-Experiment genau k Erfolge zu erhalten, ist daher: P (H = k) = ( n k ) · p k · (1 – p) n – k . „Erfolg“ und „Nichterfolg“ können für beliebige Ereignispaare E und ¬E stehen, damit gilt: Satz Wird ein Zufallsversuch n-mal unter gleichen Bedingungen durchgeführt und tritt dabei ein Ereignis E jedes Mal mit der Wahrscheinlichkeit p ein, dann gilt für die absolute Häufigkeit H des Eintretens von E: P (H = k) = ( n k ) · p k · (1 – p)n – k (für 0 ª k ª n) Mithilfe dieser Formel kann man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung festlegen, die man Binomialverteilung nennt. E ¬ E E ¬ E E ¬ E 5 12 5 12 7 12 7 12 5 12 7 12 E ¬ E E ¬ E E ¬ E E ¬ E E ¬ E ... ... E ¬ E E ¬ E p 1 – p p 1 – p p 1 – p p 1 – p p 1 – p p 1 – p p 1 – p Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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