217 11.2 Die Binomialverteilung Definition (Binomialverteilung) Sei H eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten 0 , 1, 2, … , n. Wird jedem Wert k die Wahrscheinlichkeit P (H = k) = ( n k ) · p k · (1 – p)n – k (mit 0 ª k ª nund 0 ª p ª 1) zugeordnet, dann bezeichnet man die dadurch festgelegte Wahrscheinlichkeitsverteilung als Binomialverteilung mit den Parametern n und p. Die Zufallsvariable H nennt man binomialverteilt mit den Parametern n und p. BEMERKUNG Bei einem n-stufigen Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p ist die Erfolgshäufigkeit H binomialverteilt mit den Parametern n und p. 11.32 Ein Würfel wird zehnmal geworfen. H ist die absolute Häufigkeit der Augenzahl 6 bei diesen zehn Würfen. Berechne die folgende Wahrscheinlichkeit: a) P (H = 3) b) P (H ª 1) c) P (H º 1) d) P (3 ª H ª 5) LÖSUNG Jeder Wurf ist ein Bernoulli-Experiment mit den beiden Gegenereignissen Erfolg E (Es fällt 6) und Nichterfolg ¬ E(Es fällt nicht 6); die Erfolgswahrscheinlichkeit ist bei jedem Wurf konstant, nämlich 1 _ 6 . Der Würfel wird zehnmal geworfen. Es liegt also ein 10-stufiges Bernoulli-Experiment vor. Die zugehörige Erfolgshäufigkeit H ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 1 _ 6 . a) P (H = 3) = ( 10 3 ) · ( 1 _ 6 ) 3 · ( 5 _ 6 ) 7 ≈ 0,155 b) D ie Ereignisse H = 0und H = 1schließen einander aus, daher gilt: P (H ª 1) = P (H = 0 = H = 1) = P (H = 0) + P (H = 1) = = ( 10 0 ) · ( 1 _ 6 ) 0 · ( 5 _ 6 ) 10 + ( 10 1 ) · ( 1 _ 6 ) 1 · ( 5 _ 6 ) 9 ≈ 0,485 c) P (H º 1) = P (H = 1 = H = 2 = … = H = 10) = P (H = 1) + P (H = 2) +…+P(H = 10) Diese Rechnung ist aufwändig, man verwendet einfacher die zugehörige Gegenwahrscheinlichkeit P (H = 0): P (H º 1) =1–P(H = 0) = 1 – ( 10 0 ) · ( 1 _ 6 ) 0 · ( 5 _ 6 ) 10 ≈ 0,838 d) P(3ªHª5)= P(H=3)+P(H=4)+P(H=5)= = ( 10 _ 3 ) · ( 1 _ 6 ) 3 · ( 5 _ 6 ) 7 + ( 10 _ 4 ) · ( 1 _ 6 ) 4 · ( 5 _ 6 ) 6 + ( 10 _ 5 ) · ( 1 _ 6 ) 5 · ( 5 _ 6 ) 5 ≈ 0,222 11.33 Über eine Datenleitung wird jedes Zeichen mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % korrekt übertragen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer aus 100 Zeichen bestehenden Zeichenkette mindestens ein Zeichen fehlerhaft übertragen wird! LÖSUNG Jede Übertragung eines Zeichens ist ein Bernoulli-Experiment. Weil nach der Wahrscheinlichkeit von fehlerhaften Zeichen gefragt wird, betrachten wir die Ereignisse E (Zeichen fehlerhaft) und ¬ E(Zeichen korrekt). Bei jeder Zeichenübertagung ist die Fehlerwahrscheinlichkeit P (E) = 0,02. Es werden 100 Zeichen übertragen. Daher liegt ein 100-stufiges Bernoulli-Experiment vor. Die Fehlerhäufigkeit H ist damit binomialverteilt mit n = 100und p = 0,02. Daraus folgt: P (H º 1) =1–P(H = 0) = 1 – ( 100 0 ) · 0,02 0 · 0,98100 ≈ 1 – 0,133 = 0,867 Neben der direkten Anwendung der Definition von binomialverteilten Variablen H gibt es zur konkreten Berechnung von Wahrscheinlichkeiten der Form P (H = k), P (H ª k), P (H º k)oder P (a ª H ª b): die Möglichkeit des Technologieeinsatzes, ua. nach den Anleitungen auf Seite 226. kompakt S. 226 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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