220 11 DIE BINOMIALVERTEILUNG UND WEITERE VERTEILUNGEN Typische Formen von Binomialverteilungen R Im Folgenden sind fünf Binomialverteilungen mit n = 7 und verschiedenen Werten von p dargestellt. Wir untersuchen, wie die Form der Verteilung von p abhängt. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 5 6 7 P (H = k) k p = 0,12 < 0,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 5 6 7 P (H = k) k p = 0,33 < 0,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 5 6 7 P (H = k) k p = 0,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 5 6 7 P (H = k) k p = 0,66 > 0,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 5 6 7 P (H = k) k p = 0,88 > 0,5 Man sieht: Für { p < 0,5 überwiegen die Wahrscheinlichkeiten weiter links. p = 0,5 ist die Verteilung symmetrisch. p > 0,5 überwiegen die Wahrscheinlichkeiten weiter rechts. Eine Binomialverteilung mit p = 0,5kann man näherungsweise auch durch ein Galton-Brett (benannt nach Francis Galton, 1822 –1911) experimentell erzeugen. In ein solches senkrecht stehendes Brett sind Nägel wie unten dargestellt eingeschlagen. Wird an der Spitze eine Kugel losgelassen, dann trifft diese in jeder Schicht auf einen Nagel und wird dabei entweder nach rechts oder links abgelenkt. Nach der n-ten Schicht landet die Kugel in einem der Fächer mit den Nummern 0 , 1, 2, … , n. Francis Galton Das Auftreffen einer fallenden Kugel auf einen beliebigen Nagel ist ein Bernoulli-Experiment mit den stets gleichwahrscheinlichen Ereignissen E (Rechtsablenkung) und ¬E (Linksablenkung). Der Fall einer Kugel durch alle n Schichten ist daher ein n-stufiges Bernoulli-Experiment mit p = 0,5. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel dabei genau k Rechtablenkungen erfährt und zum Schluss im Fach k landet, beträgt damit ( n k ) · 0,5 k · 0,5n – k . Lässt man sehr viele Kugeln fallen, ist die relative Häufigkeit der Kugeln im Fach k annähernd gleich dieser Wahrscheinlichkeit. Die Verteilung der Kugeln in den Fächern hat also annähernd die Form einer Binomialverteilung mit den Parametern n und p = 0,5. Fach Nägel Kugeln 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Ó Lernapplet 9iq8un Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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