221 11.2 Die Binomialverteilung 11.50 Zeige: Für p = 0,5und alle k mit 0 ª k ª n gilt: P (H = k) = P (H = n – k) Dh. eine Binomialverteilung mit p = 0,5ist symmetrisch. 11.51 In den folgenden Tabellen sind fünf Binomialverteilungen A, B, C, D und E mit n = 4dargestellt, wobei P (H = k) jeweils auf vier Nachkommastellen gerundet wurde. Ordne die Verteilungen nach steigenden Werten des Parameters p! A B C D E k P (H = k) 0 0,4096 1 0,4096 2 0,1536 3 0,0256 4 0,0016 k P (H = k) 0 0,1296 1 0,3456 2 0,3456 3 0,1536 4 0,0256 k P (H = k) 0 0,0625 1 0,2500 2 0,3750 3 0,2500 4 0,0625 k P (H = k) 0 0,0256 1 0,1536 2 0,3456 3 0,3456 4 0,1296 k P (H = k) 0 0,0016 1 0,0256 2 0,1536 3 0,4096 4 0,4096 Erwartungswert und Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen R 11.52 Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsvariable H mit den Parametern n und p. Ermittle den Erwartungswert μ und die Varianz σ 2 von H für 1) n = 2, 2) n = 3! LÖSUNG 1) H kann die Werte 0, 1, 2 annehmen. Zu diesen Werten berechnen wir die folgenden Wahrscheinlichkeiten: p 0 = P (H = 0) = ( 2 0 ) · p 0 · (1 – p) 2 = (1 – p) 2 p 1 = P (H = 1) = ( 2 1 ) · p 1 · (1 – p) 1 = 2 p (1 – p) p 2 = P (H = 2) = ( 2 2 ) · p 2 · (1 – p) 0 = p 2 Damit ergibt sich: μ = 0 · p 0 +1·p1 +2·p2 = 2 p (1 – p) + 2 p 2 = 2 p σ 2 = [ 0 2 · p 0 + 1 2 · p 1 + 2 2 · p 2 ] – μ 2 = [ 2 p (1 – p) + 4 p2 ] – 4 p2 = 2 p (1 – p) 2) Die Zufallsvariable H kann die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen. Zeige selbst: p 0 = P (H = 0) = (1 – p) 3, p 1 = P (H = 1) = 3 p (1 – p) 2, p 2 = P (H = 2) = 3 p 2 (1 – p), p 3 = P (H = 3) = p 3 Damit erhält man: μ = 0 · p 0 +1·p1 +2·p2 +3·p3 = 3 p (1 – p) 2 + 6 p2 (1 – p) + 3 p3 = 3 p σ 2 = [ 0 2 · p 0 + 1 2 · p 1 + 2 2 · p 2 + 3 2 · p 3 ] – μ 2 = = [ 3 p (1 – p) 2 + 12 p2 (1 – p) + 9 p3 ] – 9 p2 = 3 p (1 – p) Ausgehend von der letzten Aufgabe kann man die Gültigkeit des folgenden Satzes vermuten, dessen Beweis wir aber hier nicht durchführen. Satz Ist H eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n und p, dann gilt für den Erwartungswert μ und die Varianz σ 2 von H: μ = E(H) = n·p, σ 2 = V (H) = n · p · (1 – p) AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==