222 11 DIE BINOMIALVERTEILUNG UND WEITERE VERTEILUNGEN 11.53 Fußball-Toto kann in Österreich zweimal wöchentlich gespielt werden. Pro Toto-Runde stehen 18 Spiele auf dem Toto-Schein. Für die ersten fünf Spiele muss jeweils ein Tipp abgegeben werden. Von den restlichen Spielen müssen acht ausgewählt und getippt werden. Als Tippmöglichkeiten stehen zur Verfügung: 1 ... Heimmannschaft gewinnt, 2 ... Gastmannschaft gewinnt, X ... Spiel endet unentschieden Felix füllt einen Totoschein korrekt, aber völlig zufällig aus. Berechne, wie viele richtige Tipps er auf seinem Totoschein erwarten kann! 11.54 Es wird 20-mal gewürfelt. H ist die Anzahl der dabei erhaltenen Sechser. 1) Berechne den Erwartungswert μ, die Varianz σ 2 und die Standardabweichung σ von H! 2) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass H größer als μ + σ ist! 11.55 Eine Münze wird sechsmal geworfen. H ist die dabei erhaltene absolute Häufigkeit von „Zahl“. 1) Berechne den Erwartungswert μ, die Varianz σ 2 und die Standardabweichung σ von H! 2) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass H kleiner als μ – σ ist! 11.56 Ein Roulettespieler setzt 20-mal hintereinander auf „Rot“. H ist die absolute Häufigkeit, mit der „Rot“ dabei eintritt. 1) Berechne den Erwartungswert μ, die Varianz σ 2 und die Standardabweichung σ von H! 2) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass μ – σ ª H ª μ + σ ist! 11.57 Eine Maschine produziert Elektronikbauteile mit 10 % Ausschussanteil. Der Produktion werden zufällig 20 Bauteile entnommen. H ist die absolute Häufigkeit der Ausschussstücke in der Stichprobe. 1) Berechne den Erwartungswert μ, die Varianz σ 2 und die Standardabweichung σ von H! 2) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass H außerhalb des Intervalls [ μ – σ; μ + σ ] liegt! 11.58 Eine Lotterie-Trommel enthält 10 000 Lose, davon sind 75 % Nieten. Aus der Trommel werden zufällig 20 Lose gezogen. H ist die dabei erhaltene absolute Häufigkeit der Nieten. 1) Berechne den Erwartungswert μ, die Varianz σ 2 und die Standardabweichung σ von H! 2) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass H um 1 kleiner ist als μ! 11.59 Die LED-Lampenproduktion eines Herstellers enthält erfahrungsgemäß 12 % „Montagslampen“, dh. Lampen mit deutlich kürzerer Lebensdauer. 1) Aus der Produktion wird eine Zufallsstichprobe vom Umfang 20 gezogen. H ist die Anzahl der „Montagslampen“ in der Stichprobe. μ und σ sind Erwartungswert und Standardabweichung von H. Berechne die Wahrscheinlichkeit P (H > μ + σ)! 2) Berechne, wie groß die Stichprobe mindestens sein muss, damit diese mit mehr als 95 %-iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine „Montagslampe“ enthält! 11.60 Die Zufallsvariable H ist binomialverteilt mit den Parametern n und p. Zeige, dass für den Erwartungswert μ und die Varianz σ 2 von H gilt: μ ª nund σ 2 ª n _ 4 HINWEIS Ermittle den größtmöglichen Wert der Funktion f mit f (p) = p · (1 – p) im Intervall [ 0; 1 ]! AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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