223 11.3 Weitere diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 11.3 Weitere diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Die geometrische Verteilung L 11.61 Beim nebenstehenden 2-Sektor-Glückrad ist p bzw. (1 – p) die Wahr- scheinlichkeit, dass der Zeiger den roten bzw. blauen Sektor auswählt. Bei einem Zufallsversuch wird das Glücksrad so oft gedreht, bis zum ersten Mal der rote Sektor kommt. Die Zufallsvariable H gibt die Anzahl der Drehungen an, die dafür nötig sind. Ermittle die Wahrscheinlichkeit 1) P (H = 3), 2) P (H = k) für k * {1, 2, 3, …}! LÖSUNG Mithilfe des nebenstehenden Baumdiagramms, das man sich ohne Ende fortgesetzt denken kann, erhält man: 1) P (H = 3) = (1 – p) · (1 – p) · p = (1 – p) 2 · p 2) P (H = k) = (1 – p) · (1 – p) · … (1 – p) (k – 1) gleiche Faktoren · p = = (1 – p) k – 1 · p Durch Aufgabe 11.61 2) haben wir bewiesen: Satz Wird ein Zufallsversuch n-mal unter gleichen Bedingungen durchgeführt und tritt dabei ein Ereignis E jedes Mal mit der Wahrscheinlichkeit p ein, dann gilt für die Anzahl H der Versuchsdurchführungen bis zum erstmaligen Eintreten von E: P(H = k) = (1 – p)k – 1 · p (mit k = 1, 2, 3, …) Mithilfe dieser Formel kann man die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung festlegen: Definition Sei H eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten 1, 2, 3, …. Wird jedem Wert k * N* die Wahrscheinlichkeit P (H = k) = (1 – p) k – 1 · p (mit 0 ª p ª 1) zugeordnet, dann bezeichnet man die dadurch festgelegte Wahrscheinlichkeitsverteilung als geometrische Verteilung mit dem Parameter p. Die Zufallsvariable H nennt man geometrisch verteilt mit dem Parameter p. Erwartungswert und Varianz geometrischer Verteilungen geben wir ohne Beweis an: Satz Für eine geometrisch verteilte Zufallsvariable H mit dem Parameter p gilt: Erwartungswert E (H) = 1 _ p und Varianz V(H) = 1 – p _ p 2 11.62 Ein Sechser soll mit höchstens drei Versuchen gewürfelt werden. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dies a) beim ersten Wurf, b) beim zweiten Wurf, c) beim dritten Wurf, d) nicht gelingt! p 1 ‒ p kompakt S. 226 r b 1. Drehung p 1 ‒ p 2. Drehung 3. Drehung r b p 1 ‒ p r b p 1 ‒ p AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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