224 11 DIE BINOMIALVERTEILUNG UND WEITERE VERTEILUNGEN Die hypergeometrische Verteilung L Die Erfolgshäufigkeit H bei mehrmaligem Ziehen mit Zurücklegen ist binomialverteilt, bei mehrmaligem Ziehen ohne Zurücklegen ist H dagegen hypergeometrisch verteilt. Ein Beispiel einer solchen Verteilung liefert die „Trefferhäufigkeit“ beim Lotto „6 aus 45“. Dabei kreuzt man für einen Tipp sechs Zahlen aus Menge {1, 2, 3, … , 45} auf dem Wettschein an. Bei der Lotto-Ziehung werden sechs Gewinnzahlen aus Menge {1, 2, 3, … , 45} gezogen. Eine getippte Zahl, die unter den Gewinnzahlen vorkommt, nennen wir kurz „Treffer“. 11.63 Lotto „6 aus 45“: Julia gibt sechs Zahlen als Tipp ab. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Julias Tipp bei der Ziehung 1) sechs Treffer, 2) genau vier Treffer liefert! LÖSUNG J eder Tipp ist eine zufällige Auswahl einer 6-elementige Teilmenge aus der Menge {1, 2, 3, … , 45} ; daher sind ( 45 6 ) = 8145 060chancengleiche Tipps möglich. 1) S echs Treffer: Nur eine der 8145 060 Tipp-Möglichkeiten enthält die sechs Gewinnzahlen, damit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Julia bei der Ziehung sechs Treffer hat, 1 __ 8 145 060 ≈ 0,000 000123. 2) Vier Treffer: Julias Tipp enthält vier der sechs gezogenen Gewinnzahlen und zwei der 39 nicht gezogenen Zahlen. Die 4 Treffer können auf ( 6 4 ) Arten, die 2 Nichttreffer auf ( 39 2 ) Arten auftreten. Weil jede dieser Trefferarten mit jeder der Nichttrefferarten kombiniert werden kann, gibt es nach der Produktregel genau ( 6 4 ) · ( 39 2 ) mögliche Tipps mit vier Treffern. Die Wahrscheinlichkeit, dass Julias Tipp genau vier Treffer liefert, beträgt daher: ( 6 4 ) · ( 39 2 ) __ ( 45 6 ) ≈ 0,001 36. 11.64 Ziehen ohne Zurücklegen: In einer Urne sind N Kugeln, von denen M rot und N – Mblau sind. Es werden zufällig n Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den gezogenen Kugeln genau k rote Kugeln befinden! LÖSUNG • Jedem Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen entspricht die Auswahl einer n-elementigen Teilmenge aus der Menge aller N Kugeln in der Urne. Es gibt daher ( N n ) dieser Auswahlen. • Enthält eine solche Auswahl genau k rote Kugeln, dann muss sie auch n – k blaue Kugeln enthalten. Die k roten Kugeln können auf ( M k ) Arten, die n – kblauen Kugeln auf ( N – M n – k ) Arten ausgewählt werden. Weil jede dieser ( M k ) Arten für rote Kugeln mit jeder der ( N – M n – k ) Arten für blaue Kugeln kombiniert werden kann, gibt es nach der Produktregel ( M k ) · ( N – M n – k ) mögliche Auswahlen mit genau k roten Kugeln. • Die Wahrscheinlichkeit, genau k rote Kugeln zu erhalten, lautet damit: ( M k ) · ( N – M n – k ) ___ ( N n ) kompakt S. 226 N ‒ M blaue Kugeln M rote Kugeln n ‒ k blaue Kugeln k rote Kugeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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