225 11.3 Weitere diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Da man die Eigenschaften „rot“ und „blau“ durch eine beliebige Eigenschaft E und ihr Gegenteil ¬ Eersetzen kann, haben wir durch unsere Überlegungen in der letzten Aufgaben bewiesen: Satz In einer Menge von N Objekten haben M Objekte die Eigenschaft E und N – MObjekte die Eigenschaft ¬ E. Aus der Menge der N Objekte werden n Objekte zufällig ausgewählt. Ist H die absolute Häufigkeit der dabei erhaltenen Objekte mit der Eigenschaft E, dann gilt: P (H = k) = ( M k ) · ( N – M n – k ) ___ ( N n ) (falls0ªkªn,0ªkªMundn–kªN–M) Definition Sei H eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten 0 , 1, 2, …, n. Wird jedem Wert k die Wahrscheinlichkeit P (H = k) = ( M k ) · ( N – M n – k ) ___ ( N n ) (falls0ªkªn,0ªkªM,0ªnªNundn–kªN–M) zugeordnet und gilt in jedem anderen Fall P (H = k) = 0, dann bezeichnet man die dadurch festgelegte Wahrscheinlichkeitsverteilung als hypergeometrische Verteilung mit den Parametern N, M und n. Die Zufallsvariable H nennt man hypergeometrisch verteilt mit den Parametern N, M und n. Damit können wir formulieren: Merke Entspricht eine Versuchsserie einem mehrmaligen Ziehen ohne Zurücklegen, so ist die untersuchte „Erfolgshäufigkeit“ H hypergeometrisch verteilt. BEMERKUNG Entspricht eine Versuchsserie einem mehrmaligen Ziehen ohne Zurücklegen und ist die Stichprobe kleiner im Vergleich zur Grundgesamtheit, so kann man H als annähernd binomialverteilt betrachten. Ohne Beweis geben wir Formeln für Erwartungswert und Varianz von hypergeometrisch verteilten Zufallsvariablen an. Satz Für eine hypergeometrisch verteilte Zufallsvariable H mit den Parametern N, M und n gilt: E (H) = μ = n · M _ N V (H) = σ 2 = n · M _ N · (1 – M _ N ) · N – n _ N – 1 11.65 In einer Urne sind 15 Gewinnlose und 5 Nieten. Es werden 8 Lose blind gezogen. a) Ermittle, wie viele Gewinnlose dabei zu erwarten sind! b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dabei genau vier Gewinnlose zu erhalten! c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass man dabei sechs Gewinnlose und zwei Nieten erhält! 11.66 Die 7a-Klasse besuchen 10 Schülerinnen und 10 Schüler. Für einen Kompetenzcheck werden acht Klassenmitglieder zufällig ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobe gleiche viele Schülerinnen wie Schüler enthält! AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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