23 2.2 Geschwindigkeit Hätten wir in der Aufgabe 2.10 die Geschwindigkeit v (3) nicht einfacher erhalten können? Wir hätten ja einfach in der Formel ‾v (3; z) = 5 · (z + 3) für z die Zahl 3 einsetzen können und damit v (3) = ‾v (3; 3) = 5 · (3 + 3) = 30erhalten. Dieses Vorgehen ist streng genommen nicht erlaubt, weil die Formel ‾v (3; z) = 5 · (z + 3) nur für z ≠ 3gilt. Wir können das Ergebnis jedoch rechtfertigen, indem wir folgendermaßen argumentieren: Wenn sich z unbegrenzt der Zahl 3 nähert, dann nähert sich die Zahl z + 3unbegrenzt der Zahl 3 + 3 = 6und somit die Zahl 5 · (z + 3) unbegrenzt der Zahl 5 · 6 = 30. Allgemein definiert man: Definition Bewegt sich ein Körper gemäß der Zeit-Ort-Funktion s: t ¦ s (t), dann setzt man: • Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [ t 1; t 2 ] = ‾ v (t 1; t 2) = s (t 2) – s (t 1) __ t 2 – t 1 • Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = v (t) = lim z ¥ t ‾v (t; z) = lim z ¥ t s (z) – s (t) __ z – t BEMERKUNG v (t)wird auch als Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t bezeichnet. Beispielsweise gibt ein Tachometer im Auto zu jedem Zeitpunkt die jeweilige Momentangeschwindigkeit an. Für eine lineare Zeit-Ort-Funktion s: t ¥ k·t+dist‾v(t, z) = s(z) – s(t) __ z – t = (k · z + d) – (k · t + d) ___ z – t = k, dh. die mittlere Geschwindigkeit ist in jedem Zeitintervall [t, z]gleich k. Nähert sich nun z unbegrenzt der Zahl t, dann bleibt ‾v(t, z) stets unverändert gleich k. Somit ist v (t) =lim z ¥ t ‾v(t, z) = k. Das bedeutet: Die Geschwindigkeit ist zu jedem Zeitpunkt gleich hoch. Eine Bewegung mit linearer Zeit-Ort-Funktion heißt gleichförmige Bewegung. 2.11 (Fortsetzung von 2.10) Gib beim Bungee-Jumping eine Formel für die mittlere Geschwindigkeit ‾v (4; z) an und begründe, dass daraus v (4) = 40 m/sfolgt! 2.12 Wird eine Kugel von der 60 m hoch gelegenen Plattform eines Aussichtsturms fallengelassen, so ist der zurückgelegte Weg (in m) nach t Sekunden annähernd gegeben durch s (t) = 5 t². 1) Berechne die mittlere Geschwindigkeit der Kugel während der ersten zwei Sekunden! 2) Berechne die Geschwindigkeit der Kugel zu den Zeitpunkten 1, 2, 3 (s)! 2.13 Die Höhe eines lotrecht nach oben geworfenen Körpers zum Zeitpunkt t ist ungefähr gegeben durch h (t) = v0 t – 5t 2, wobei v 0 die Abschussgeschwindigkeit ist (t in Sekunden, h (t) in Meter, v 0 in m/s). Berechne für v 0 = 34 m/s 1) die mittlere Geschwindigkeit des Körpers während der ersten zwei Sekunden, 2) die Geschwindigkeit des Körpers zu den Zeitpunkten 0, 1, 2 3, 4, 5 (s)! Was bedeutet eine negative Geschwindigkeit? AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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