230 12.1 Reelle, imaginäre und komplexe Zahlen Gibt es Wurzeln aus negativen Zahlen? R Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl kann keine reelle Zahl sein, weil das Quadrat jeder reellen Zahl nicht negativ ist. ZB: 3 · 3 = 9; (– 3) · (– 3) =9;0·0=0 Der italienische Mathematiker Gerolamo Cardano (1501 –1576) stellte jedoch die folgende Aufgabe, in der Wurzeln aus negativen Zahlen auftreten: 12.01 Die Zahl 10 ist so in zwei Summanden zu zerlegen, dass deren Produkt 1) 24, 2) 30 ist. LÖSUNG Wenn wir den einen Summanden mit x bezeichnen, ist der andere 10 – x. 1) x · (10 – x) = 24 x 2 –10x+24=0 x = 4 = x = 6 Die Summanden sind 4 und 6. PROBE 4+6=10und4·6=24 2) x · (10 – x) = 30 x 2 –10x+30=0 x = 5 + � ___ – 5 = x = 5 – � ___ – 5 Da die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist, hat diese quadratische Gleichung keine Lösung. Die Zahl 10 kann also nicht in zwei Summanden zerlegt werden, deren Produkt 30 ist. Cardano akzeptierte die Ausdrücke 5 + � ___ –5und 5 – � ___ – 5nicht als Lösungen der Aufgabe, weil er sich nicht vorstellen konnte, dass es Zahlen gibt, deren Quadrate negativ sind. Er stellte jedoch etwas Merkwürdiges fest: Obwohl diese Ausdrücke keine „wirklichen“ Zahlen sind, verhalten sie sich wie Lösungen, wie die Probe zeigt: PROBE (5 + � ___ – 5 ) + (5 – � ___ – 5 ) = 10 (5 + � ___ – 5 ) · (5 – � ___ – 5 ) = 25 – ( � ___ – 5 ) 2 = 25 – (– 5) = 30 Gerolamo Cardano (1501 – 1576) KOMPLEXE ZAHLEN GRUNDKOMPETENZEN Wissen über die Zahlenmengen N, ℤ, ℚ, R und C verständig einsetzen können. Komplexe Zahlen in der Gauß ’schen Zahlenebene darstellen und mit komplexen Zahlen rechnen können. Den Fundamentalsatz der Algebra kennen und seine Bedeutung bei der Zahlenbereichserweiterung von R auf C erläutern können. AG-R 1.1 AG-L 1.5 AG-L 2.8 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==