231 12.1 Reelle, imaginäre und komplexe Zahlen Gibt es vielleicht doch Zahlen, deren Quadrate negativ sind? Zunächst die Frage: Gibt es eine Zahl, deren Quadrat gleich – 1ist? Wenn es eine solche „Zahl“ gäbe und wir sie mit i bezeichneten, dann würde gelten: i 2 = – 1 Falls es diese „Zahl“ i tatsächlich gäbe, könnte man weitere „Zahlen“ bilden, deren Quadrate negativ sind (zumindest dann, wenn man voraussetzt, dass man nach den üblichen Rechenregeln rechnen darf). BEISPIELE (3 · i) 2 = 3 2 · i 2 = 9 · (– 1) = – 9 ( � __ 2 · i) 2 = ( � __ 2 ) 2 · i 2 = 2 · (– 1) = – 2 (b · i) 2 = b 2 · i 2 = b 2 · (– 1) = – b2 (b * R) Allgemein kann man „Zahlen“ der Form a + b · i (mit a, b * R) bilden. Dabei sind folgende Bezeichnungen üblich: • Die Zahl i nennt man imaginäre Einheit. • Die Zahlen der Form b · i (mit b * R) nennt man imaginäre Zahlen. • Die Zahlen der Form a + b · i (mit a, b * R) nennt man komplexe Zahlen. Man bezeichnet a als Realteil und b als Imaginärteil der komplexen Zahl a + b · i. • Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet. Jede imaginäre Zahl b · ilässt sich auch als komplexe Zahl anschreiben: b · i = 0 + b · i Ebenso lässt sich jede reelle Zahl a als komplexe Zahl anschreiben: a = a + 0 · i Gäbe es überhaupt die Menge der komplexen Zahlen, würde sie die Menge der reellen Zahlen umfassen, also: R ² C. Cardano war nicht bereit, die Existenz komplexer Zahlen anzuerkennen. Auch spätere Mathematiker hatten damit ihre Probleme. Die Anerkennung der komplexen Zahlen als Zahlen war historisch ein langer Weg, der bis ins 20. Jahrhundert hinein reichte und in mehreren Etappen verlief. Diese wollen wir in den folgenden Abschnitten nachvollziehen. 12.02 Die Zahl 16 ist so in zwei Summanden zu zerlegen, dass deren Produkt 1) 39, 2) 70 ist. Gehe analog zu Aufgabe 12.01 vor und führe die Probe durch! 12.03 Berechne: a) – i 2 c) – i 3 e) – i 4 g) – i 5 i) (3 i) 2 b) (– i) 2 d) (– i) 3 f) (– i) 4 h) (– i) 5 j) (– 5 i) 2 12.04 1) Berechne i0, i 1, i 2, i 3, i 4, i 5, i 6, i 7, i 8, i 9, i 10, i 11, i 12, i 13! 2) Gib an, welche Werte in (mit n * N) annehmen kann! Beschreibe einen Zusammenhang zwischen n und in! 3) Berechne i40, i 81, i 122, i 163 mit Hilfe des in 2) erkannten Zusammenhangs! Ó Infotext: Historisches zu den Zahlbereichen 9ka84b AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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