232 12 KOMPLEXE ZAHLEN 12.2 Rechnen mit komplexen Zahlen Addieren, Multiplizieren und Dividieren L Ein erster Schritt zur Anerkennung der komplexen Zahlen in der Geschichte der Mathematik war die Erkenntnis, dass man mit diesen Zahlen ähnlich wie mit den reellen Zahlen rechnen kann, wenngleich die Existenz der komplexen Zahlen nach wie vor zweifelhaft blieb. Verwendet man die üblichen Rechenregeln, dann kann man mit komplexen Zahlen die vier Grundrechenarten ausführen: • Addieren und Subtrahieren: Man addiert bzw. subtrahiert die Realteile und die Imaginärteile der komplexen Zahlen. (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i (a + b i) – (c + d i) = (a – c) + (b – d) i • Multiplizieren: (a + b i) · (c + d i) = ac + bci + adi + bdi2 = a c + b c i + a d i + b d · (– 1) = = (a c – b d) + (b c + a d) i • Dividieren: Wir geben die Division in Bruchdarstellung an und erweitern den Bruch mit (c – d i). a + b i _ c + d i = (a + b i) (c – d i) ___ (c + d i) (c – d i) = ac + bci – adi – bdi2 ____ c 2 + d 2 = ac+bci–adi+bd ___ c 2 + d 2 = a c + b d __ c 2 + d 2 + b c – a d __ c 2 + d 2 · i Dabei muss c + d i ≠ 0vorausgesetzt werden (das ist genau dann der Fall, wenn c ≠ 0 = d ≠ 0 bzw. c 2 + d 2 ≠ 0). 12.05 Berechne 1) Summe, 2) Differenz, 3) Produkt, 4) Quotient von 3 + 2 iund 5 – 4 i! LÖSUNG 1 ) (3 + 2 i) + (5 – 4 i) = (3 + 5) + (2 – 4) i=8–2i 2) (3 + 2 i) – (5 – 4 i) = (3 – 5) + (2 + 4) i = –2 + 6i 3) (3 + 2 i) · (5 – 4 i) = 15 + 10i – 12i – 8i2 = 15 + 10 i – 12 i – 8 · (– 1) = = (15 + 8) + (10 – 12) i=23–2i 4) 3 + 2 i _ 5 – 4 i = (3 + 2 i) (5 + 4 i) ___ (5 – 4 i) (5 + 4 i) = 15 + 10i + 12i + 8i2 ___ 25 – 16 i2 = (15 – 8) + (10 + 12) i ___ 25 – 16 · (– 1) = 7 + 22 i _ 41 = 7 _ 41 + 22 _ 41 i Definition Die Zahlen a + b i und a – b i nennt man konjugiert komplexe Zahlen. Für die konjugiert komplexen Zahlen a + b iund a – b igilt: • (a + b i) + (a – b i) = 2 a • (a + b i) – (a – b i) = 2bi • (a + b i) · (a – b i) = a 2 – b 2 · i 2 = a 2 + b 2 Es gilt also: Merke • Die Summe zweier konjugiert komplexer Zahlen ist eine reelle Zahl. • Die Differenz zweier konjugiert komplexer Zahlen ist eine imaginäre Zahl. • Das Produkt zweier konjugiert komplexer Zahlen ist eine reelle Zahl. 12.06 Berechne: a) (3 + 2 i) + (2 + 6 i) c) (– 4 + 5 i) + (2 – 7 i) e) (– 6 + i) + (– 2 – 6 i) g) (3 – 2 i) – (3 – 2 i) b) (9 + 8 i) – (6 + 5 i) d) (3 + 2 i) – (3 – 2 i) f) (3 + 2 i) – (– 3 + 2 i) h) (3 + 2 i) – (3 + 2 i) kompakt S. 241 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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