236 12 KOMPLEXE ZAHLEN Der Fundamentalsatz der Algebra wurde zum ersten Mal von Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855) bewiesen. Die Bedeutung dieses Satzes liegt vor allem in seiner Anwendung auf Zahlbereichserweiterungen. Durch Erweiterungen der Zahlbereiche kann man immer mehr Gleichungen lösen: BEISPIELE • Die Gleichung x + 1 = 0hat keine Lösung in N, aber eine in Z. • D ie Gleichung 3 x = 2hat keine Lösung in Z, aber eine in Q. • D ie Gleichung x 2 = 2hat keine Lösung in Q, aber Lösungen in R. • D ie Gleichung x 2 + 1 = 0hat keine Lösung in R, aber Lösungen in C. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist nun jede algebraische Gleichung in C lösbar. Es besteht also – zumindest vom Standpunkt des Lösens algebraischer Gleichungen aus – keine Notwendigkeit, die Menge C der komplexen Zahlen abermals zu erweitern. 12.21 Gib die Lösungen der quadratischen Gleichung als imaginäre Zahlen an! a) x 2 + 1 = 0 b) x 2 + 4 = 0 c) 9 x 2 + 16 = 0 d) 7 x 2 + 3 = 0 e) x 2 + u = 0(mit u * R +) 12.22 Ermittle alle komplexen Lösungen der quadratischen Gleichung und mache die Probe! a) x 2 +4x+5=0 d) x 2 –8x+32=0 g) 2 x 2 +10x+13=0 b) x 2 +4x+7=0 e) x 2 – 3x +14,5 = 0 h) 9 x 2 +36x+37=0 c) x 2 –6x+13=0 f) x 2 – 10 x + 25,25 = 0 i) 1 00 x 2 – 300x + 229 = 0 12.23 Zerlege den quadratischen Term in Faktoren der Form (x – x 1)(x – x 2) mit x1 , x 2 * C! a) x 2 – 2x + 2 b) x 2 – 8x + 25 c) x 2 + 14 x + 53 d) x 2 – 14 x + 65 e) x 2 + 6x +18 12.24 Es sei x1 eine Lösung der quadratischen Gleichung x 2 +px+q=0. Gib die zweite Lösung x 2 an und stelle eine quadratische Gleichung mit diesen Lösungen auf! a) x 1 = 1 – 2i b) x 1 = 2 – 3i c) x 1 = 8 + 2i d) x 1 = 1 + i e) x 1 =c–di 12.25 Ermittle alle komplexen Lösungen der Gleichung und mache die Probe! a) x 3 + 4x = 0 c) x 3 + 6 x2 + 34x = 0 e) x 5 + 4 x4 + 29 x 3 = 0 b) x 3 – 12 x 2 + 37x = 0 d) x 4 – 2 x3 + 10 x 2 = 0 f) x 8 + x 6 = 0 12.26 Ermittle mit der Cardano’schen Formel eine Lösung der Gleichung x 3 –15x+4=0! HINWEIS Zeige (2 + i) 3 = 2 + 11 iund (– 2 + i) 3 = – 2 + 11 i! 12.27 Löse folgende Gleichung (mit a , b * R +) über C! a) (x – a) 2 + a 2 = 0 c) 1 _ 4 = a x – 1 __ x 2 + 4a 2 e) x 2 + b 2 = 2 a (b – a – x) (a ≠ b) b) 2 (a – x 2) =2a+5+6x d) 1 _ 2 · (9 a + x 2 _ a ) = 3x – 2a f) x 2 + 1 = 1 _ a · (2 x – 1 _ a ) 12.28 Gib eine quadratische Gleichung an, die a) zwei reelle Lösungen hat, b) zwei konjugiert komplexe Lösungen hat! 12.29 Gib eine kubische Gleichung an, die a) drei reelle Lösungen hat, b) eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen hat, c) drei komplexe Lösungen hat! AUFGABEN L Ó Arbeitsblatt 9j2i6w Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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