237 12.4 Geometrische Darstellung komplexer Zahlen 12.4 Geometrische Darstellung komplexer Zahlen Die Gauß’sche Zahlenebene L Während man die reellen Zahlen als Punkte oder Pfeile auf einer Zahlengeraden veranschaulichen konnte, fehlte zunächst eine anschauliche Darstellung für komplexe Zahlen. Eine solche Veranschaulichung wurde jedoch von mehreren Mathematikern im 18. und 19. Jahrhundert entwickelt und vor allem von Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855) verbreitet. Die Grundidee dieser Veranschaulichung ist einfach: Eine komplexe Zahl a + b iist völlig bestimmt durch die beiden reellen Zahlen a und b. Man kann also jede komplexe Zahl a + b idurch das Zahlenpaar (a 1 b) beschreiben. Ein solches Zahlenpaar kann man als Punkt P in einem Koordinatensystem darstellen (siehe nebenstehende Abbildung). Statt eines Punktes kann man auch einen von O zu P gerichteten Pfeil zeichnen. Die Ebene bezeichnet man in diesem Zusammenhang als Gauß’sche Zahlenebene oder komplexe Zahlenebene. Die Addition und Vervielfachung komplexer Zahlen entsprechen den jeweiligen Rechenoperationen mit Vektoren in R 2 und lassen sich ebenfalls in der Gauß’schen Zahlenebene darstellen. Addition: komplexe Zahlen: (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i Zahlenpaare: (a 1 b) + (c 1 d) = (a + c 1 b + d) Vervielfachung (mit r * R): komplexe Zahlen: r · (a + b i) = (r · a) + (r · b) i Zahlenpaare: r · (a 1 b) = (r · a 1 r · b) reelle Achse imaginäre Achse r · (a + bi) a + bi Die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen und deren Rechenoperationen mit Punkten und Pfeilen hat dazu beigetragen, die Existenz der komplexen Zahlen anzuerkennen. 12.30 Stelle die komplexe Zahl z als Punkt und als Pfeil in der Gauß’schen Zahlenebene dar! a) z=3+2i c) z = –2 – 3i e) z = 6 g) z = – 7 b) z = –4 + 5i d) z=5–4i f) z = 5i h) z = –6i 12.31 Gegeben sind die komplexen Zahlen z 1 = 4 + 2i, z2 = –3 + i, z3 = –2 – 5i, z4 = 4 – 4 iund z5 = 5 i. Konstruiere als Punkt und Pfeil in der Gauß’schen Zahlenebene: a) z 1 + z 2 b) z 1 – z 4 c) (z 1 + z 3) + z 5 d) 2 z 2 e) z 3 – (z 4 + z 5) f) 2 z 2 – (z 3 – z 4) Carl Friedrich Gauß kompakt S. 241 reelle Achse 0 imaginäre Achse a b P reelle Achse imaginäre Achse (a + bi) + (c + di) c + di a + bi AUFGABEN L Ó Lernapplet 9j5bg7 Ó Lernapplet 9j9bx8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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