238 12 KOMPLEXE ZAHLEN 12.5 Eine weitere Darstellung komplexer Zahlen Polardarstellung komplexer Zahlen L Ist eine von 0 verschiedene komplexe Zahl a + b · ials Punkt P = (a 1 b) in der Gauß’schen Zahlenebene dargestellt, so kann man den Punkt P auch durch seine Polarkoordinaten r und φ angeben: P = [ r 1 φ ] mit r * R* und φ * [ 0°; 360°) 0 a φ b r P reelle Achse imaginäre Achse Definition Die komplexe Zahl a + b · i ≠ 0sei in der Gauß’schen Zahlenebene durch den Punkt P = (a 1 b) = [ r 1 φ ] dargestellt. • r heißt Betrag von a + b · i. Man schreibt: r = | a + b · i |. • φ heißt Argument von a + b · i. Man schreibt: φ = arg (a + b · i) Für die komplexe Zahl 0 setzt man | 0 | = 0, arg (0) ist jedoch nicht definiert. Die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten und umgekehrt kann bekanntlich mithilfe der folgenden Formeln durchgeführt werden kann: a = r · cos (φ), b = r · sin (φ) bzw. r = � _____ a 2 + b 2 , tan (φ) = b _ a (falls a ≠ 0) Daraus ergibt sich: a + b · i = r · cos (φ) + r · sin (φ) · i = r · [ cos (φ) + i · sin (φ) ] Definition Die Darstellung z = r · [ cos (φ) + i · sin (φ) ] einer komplexen Zahl z heißt Polardarstellung von z. Wir fassen zusammen: Satz Ist z = a + b · ieine von 0 verschiedene komplexe Zahl, r = | a + b · i | und φ = arg (a + b · i), dann gilt: (1) a = r · cos (φ), b = r · sin (φ) (2) r = � _____ a 2 + b 2 , tan (φ) = b _ a (falls a ≠ 0) (3) a + b · i = r · [ cos (φ) + i · sin (φ) ] 12.32 Stelle die komplexe Zahl 5 · [ cos (140°) + i · sin (140°) ] in der Form a + b · idar! LÖSUNG a = 5 · cos (140°) ≈ – 3,83, b = 5 · sin (140°) ≈ 3,21 Damit ergibt sich: 5 · [ cos (140°) + i · sin (140°) ] ≈ – 3,83 + 3,21 · i 12.33 Berechne Betrag und Argument der komplexen Zahl 5 – 12 iund gib die Zahl in Polardarstellung an! LÖSUNG r = � ________ 5 2 + (– 12) 2 = � ___ 169= 13, tan (φ) = – 12 _ 5 w φ ≈ 292,6°(wegen φ * Q IV) Somit gilt: 5 – 12 i ≈ 13 · [ cos (292,6°) + i · sin (292,6°) ] kompakt S. 241 0 a φ b r P reelle Achse imaginäre Achse Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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