239 12.5 Eine weitere Darstellung komplexer Zahlen 12.34 Berechne Betrag und Argument der komplexen Zahl! a) 3 – 4i b) 5 + 12 i c) – 4 i d) 7 + 24 i e) 12 – 35i f) 2,1 – 20 i 12.35 Gib die komplexe Zahl in Polardarstellung an! a) 3 + 4i c) 5 – 12 i e) 6 + 8i g) i i) 3 b) 4 – 3i d) – 3 _ 2 + 2 i f) 15 – 8i h) – 5 i j) 17,5 i 12.36 Gib die komplexe Zahl in der Form a + b · ian! a) 5 · [ cos (30°) + i · sin (30°) ] b) 4 · [ cos (120°) + i · sin (120°) ] Multiplizieren und Dividieren komplexer Zahlen in Polardarstellung L Satz Sind z 1 = r · [ cos (φ) + i · sin (φ) ] und z 2 = s · [ cos (ψ) + i · sin (ψ) ] zwei komplexe Zahlen, gilt: (1) z 1 · z 2 = r · s · [ cos (φ + ψ) + i · sin (φ + ψ) ] (2) z 1 _ z 2 = r _ s · [ cos (φ – ψ) + i · sin (φ – ψ) ] Merke • Bei der Multiplikation werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert. • Bei der Division werden die Beträge dividiert und die Argumente subtrahiert. Potenzen komplexer Zahlen in Polardarstellung L Die Formel und der Satz gehen auf den Mathematiker Abraham de Moivre (1667 – 1754) zurück: Satz (Formel von de Moivre) Für n * N* gilt: z = cos (φ) + i · sin (φ) w z n = cos (n φ) + i · sin (n φ) BEWEIS Wird n fortlaufend um 1 erhöht, so erhöht sich das Argument von z n jeweils um φ. Daher gilt: z2 =z·z=cos(2 φ) + i · sin (2 φ), z 3 = z 2 ·z = cos(3 φ) + i · sin (3 φ) usw. Satz (Potenzen einer komplexen Zahl) Für n * N* gilt: z = r · [ cos (φ) + i · sin (φ) ] w z n = r n · [ cos (n φ) + i · sin (n φ) ] 12.37 Berechne z2 und z3 für a) z = 2 · [ cos (75°) + i · sin (75°) ], b) z = 1 _ 2 · [ cos (170°) + i · sin (170°) ]! 12.38 Berechne z2, z 3 und z4! Gib diese Zahlen in der Form a + b · isowie in Polardarstellung an! a) z = 3 + � __ 3 · i b) z = 1 – � __ 3 · i c) z = 1 _ 2 + 1 _ 2 · i d) z = 1 – i 12.39 Für die komplexe Zahl z gilt | z | = 1und a) arg (z) = 120°, b) arg (z) = 72°. Berechne z2, z 3, z 4, z 5, z 6 und stelle diese Zahlen in der Gauß’schen Zahlenebene dar! Was fällt auf? AUFGABEN L Ó Lernapplet 9jb3fi AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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