240 12 KOMPLEXE ZAHLEN Wurzeln aus komplexen Zahlen L Bisher haben wir von den beiden Lösungen der Gleichung x 2 = – anur die Lösung � __ a· ials � ___ – a bezeichnet. Bei der allgemeinen Definition ist der Wurzelbegriff in C jedoch mehrdeutig: Definition Jede komplexe Lösung der Gleichung x n = z(mit z * C und n * N*) wird mit n � _ z bezeichnet. Wenn wir z = r · (cos φ + i · sin φ) setzen, dann ist jede komplexe Zahl w k der Form w k = n � _ r · [ cos ( φ _ n +(k–1)· 360° _ n ) + i · sin ( φ _ n +(k–1)· 360° _ n ) ] mit k = 1, 2, …, nund n * N* eine Lösung der Gleichung x n = z, denn nach dem letzten Satz gilt: w k n = ( n � _ r ) n · [ cos (n · ( φ _ n +(k–1)· 360° _ n )) + i · sin (n · ( φ _ n +(k–1)· 360° _ n )) ] = = r · [ cos (φ + (k – 1) · 360°) + i · sin (φ + (k – 1) · 360°) ] = r · [ cos (φ) + i · sin (φ) ] = z Für k = 1, 2, …, nergeben sich n verschiedene Lösungen der Gleichung xn = z, weil das Argument jeweils um 360° _ n zunimmt. Für k = n + 1, n + 2, …wiederholen sich die schon erhaltenen Lösungen. Man kann zeigen, dass es außer den Zahlen w k keine weiteren Lösungen der Gleichung x n = z gibt. Somit gilt: Satz Alle n-ten Wurzeln aus einer komplexen Zahl z = r · [ cos (φ) + i · sin (φ) ] sind gegeben durch w k = n � _ r · [ cos ( φ _ n +(k–1)· 360° _ n ) + i · sin ( φ _ n +(k–1)· 360° _ n ) ] mit k = 1, 2, …, n. 12.40 Berechne alle dritten Wurzeln der Zahl z = 27 · [ cos (75°) + i · sin (75°) ] und stelle diese in der Gauß’schen Zahlenebene dar! Was fällt auf? LÖSUNG w 1 = 3 � __ 27 · [ cos (25° + 0 · 120°) + i · sin (25° + 0 · 120°) ] = = 3 · [ cos (25°) + i · sin (25°) ] w 2 = 3 � __ 27 · [ cos (25° + 1 · 120°) + i · sin (25° + 1 · 120°) ] = = 3 · [ cos (145°) + i · sin (145°) ] w 3 = 3 � __ 27 · [ cos (25° + 2 · 120°) + i · sin (25° + 2 · 120°) ] = = 3 · [ cos (265°) + i · sin (265°) ] Die den Wurzeln entsprechenden Punkte liegen auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt O und dem Radius 3 und bilden die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks. BEMERKUNG: Alle Lösungen der Gleichung x n = z = r · [ cos (φ) + i · sin (φ) ] haben den gleichen Betrag n � _ r . Die zugeordneten Punkte in der Gauß’schen Zahlenebene liegen somit auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt O und dem Radius n � _ r. Da ihre Argumente schrittweise um 360° _ n zunehmen, bilden sie die Eckpunkte eines regelmäßigen n-Ecks. 12.41 Berechne alle Quadratwurzeln aus z und stelle sie in der Gauß’schen Zahlenebene dar! a) z = 4 · [ cos (68°) + i · sin (68°) ] b) z = 1 + � __ 3 · i c) z = 9 12.42 Berechne alle dritten Wurzeln aus z und stelle sie in der Gauß’schen Zahlenebene dar! a) z = 27 · [ cos (135°) + i · sin (135°) ] b) z=–1+� __ 3 · i c) z = – 8 0 25° W1 reele Achse imaginäre Achse W2 W3 145° 3 3 3 265° AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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