244 KOMPETENZCHECK 12.52 Komplexe Zahlen und quadratische Gleichungen a) 1) Zeige: Zwei komplexe Zahlen z und – z(mit z ≠ 0) liegen in der Gauß’schen Zahlenebene symmetrisch bezüglich des Ursprungs O. 2) Beschreibe, wie zwei konjugiert komplexe Zahlen in der Gauß’schen Zahlenebene zueinander liegen! b) 1) Gegeben ist eine quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0mit p * R und q * R +. Zeige: Ist p = 0, dann hat die Gleichung zwei Lösungen, die imaginär und konjugiert komplex sind. 2) Zeige umgekehrt: Wenn die Gleichung x 2 + p x + q = 0zwei imaginäre und konjugiert komplexe Lösungen hat, dann muss p = 0sein. 12.53 Punktmengen in der Gauß’schen Zahlenebene Wir bezeichnen in den folgenden Aufgaben den Realteil einer komplexen Zahl z mit R e (z) und den Imaginärteil mit Im (z). a) 1) Teilmengen von C entsprechen Punktmengen in der Gauß’schen Zahlenebene. Es sind die drei Mengen A = {z * C | | Re (z) | ª 1 ? | Im (z) | ª 1}, B = {z * C 1 0 ª Re (z) ª 1 ? 0 ª Im (z) ª 1} und C = {z * C | | z | ª 1} gegeben. Ordne den dargestellten Punktmengen der Gauß’schen Zahlenebene die zugehörige Teilmenge (A, B oder C) von C zu! i 1 ‒ 1 ‒ i i 1 ‒ 1 ‒ i i 1 ‒ 1 ‒ i 2) Skizziere die Menge {z * C 1 Im (z) =1–Re(z)} in der Gauß’schen Zahlenebene! b) 1) In der Abbildung sind vier komplexe Zahlen z 1 , z 2 , z 3 und z4 durch Punkte bzw. Pfeile dargestellt. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! 1 –1 i –i z1 z2 z3 z4 Nach steigenden Beträgen geordnet lauten diese Zahlen: z 2 , z 1 , z 4 , z 3. Nach steigenden Argumenten geordnet lauten diese Zahlen: z 4 , z 3 , z 2 , z 1. Nach steigenden Realteilen geordnet lauten diese Zahlen: z 1 , z 4 , z 2 , z 3. Nach steigenden Imaginärteilen geordnet lauten diese Zahlen: z 3 , z 4 , z 2 , z 1. Alle vier Zahlen haben einen Betrag < 4. 2) Zwei komplexe Zahlen z 1 und z2 sind als Punkte in der Gauß’schen Zahlenebene dargestellt. Gib an, was der Ausdruck | z 1 – z 2 | in diesem Zusammenhang bedeutet! R Aufgaben vom Typ 2 AG-R 1.1 AG-R 2.3 AG-R 1.1 AG-R 2.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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