252 ANHANG: BEWEISE Zu 5.1 (Seite 108) Satz (Spaltform der Tangentengleichung einer Ellipse) Eine Gleichung der Tangente in einem Punkt T = (x T 1 y T) der Ellipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 lautet: b 2 x T x + a 2 y T y = a 2 b 2 BEWEIS Wir zeigen, dass die Ellipse ell: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 und die Gerade t: b2 x T x + a 2 y T y = a 2 b 2 genau den Punkt T = (x T 1 y T) gemeinsam haben. { b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 b 2x Tx + a 2y Ty = a 2b 2 Aus der 2. Gleichung erhält man: y = – b 2x T _ a 2y T ·x+b 2 _ y T . Einsetzen in die 1. Gleichung liefert: b 2x 2 + a 2 · ( b 4x T 2 _ a 4y T 2 · x 2 – 2 · b 4x T _ a 2y T 2 ·x+b 4 _ y T 2 ) – a 2b 2 = 0 b 2x 2 + b 4x T 2 _ a 2y T 2 · x 2 – 2 b 4x T _ y T 2 ·x+a 2b 4 _ y T 2 – a 2b 2 = 0 | · a 2y T 2 a 2b 2y T 2 · x 2 + b 4x T 2 · x 2 – 2a2b 4x T ·x+a 4b 4 – a 4b 2y T 2 = 0 | : b 2 a 2y T 2 · x 2 + b 2x T 2 · x 2 – 2a2b 2x T ·x+a 4b 2 – a 4y T 2 = 0 b2x T 2 + a2y T 2 a2b2 · x 2 – 2a2b 2x T ·x+a 2 · a2b2 – a2y T 2 b2x T 2 = 0 (weil T = (xT 1 y T) * ell) a 2b 2 · x 2 – 2a2b 2x T ·x+a 2b 2x T 2 = 0 | : a 2b 2 x 2 – 2x Tx + x T 2 = 0 (x – xT) 2 = 0 x = x T , y=– b 2x T _ a 2y T · x T + b 2 _ y T = a 2b 2 – b 2x T 2 _ a 2y T = a 2y T 2 _ a 2y T = y T Zu 5.3 (Seite 117) Satz (Spaltform der Tangentengleichung einer Parabel) Eine Gleichung der Tangente in einem Punkt T = (x T 1 y T) der Parabel y 2 = 2px lautet: y T · y = p · x + p · x T BEWEIS Wir zeigen, dass die Parabel par: y 2 = 2px und die Gerade t: y T y=px+pxT genau den Punkt T = (x T 1 y T) gemeinsam haben. { y 2 =2px y T · y = p · x + p · x T Aus der 2. Gleichung erhält man: y = p _ y T (x + xT). Einsetzen in die 1. Gleichung liefert: p 2 _ y T 2 · (x 2 + 2x Tx + x T 2) = 2 p x p 2 (x 2 + 2x Tx + x T 2) =2p·y T 2 ⏟ 2 pxT · x (weil T = (xT 1 y T) * par) p 2 (x 2 + 2x Tx + x T 2) = 4p2x Tx | : p 2 x 2 + 2x Tx + x T 2 – 4x Tx = 0 (x – x T ) 2 = 0 x = x T , y = p _ y T (x T + x T) = 2 p x T _ y T = y T 2 _ y T = y T Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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