252 ANHANG: BEWEISE Zu 5.1 (Seite 108) Satz (Spaltform der Tangentengleichung einer Ellipse) Eine Gleichung der Tangente in einem Punkt T = (t1 1 t 2) der Ellipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 lautet: b 2 t 1 x + a 2 t 2 y = a 2 b 2 BEWEIS Wir zeigen, dass die Ellipse ell: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 und die Gerade t: b2 t 1 x + a 2 t 2 y = a 2 b 2 genau den Punkt T = (t 1 1 t 2) gemeinsam haben. { b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 b 2t 1x + a 2t 2y = a 2b 2 Aus der 2. Gleichung erhält man: y = – b 2t 1 _ a 2t 2 · x + b 2 _ t 2 . Einsetzen in die 1. Gleichung liefert: b 2x 2 + a 2 · ( b 4t 1 2 _ a 4t 2 2 · x 2 – 2 · b 4t 1 _ a 2t 2 2 ·x+b 4 _ t 2 2 ) – a 2b 2 = 0 b 2x 2 + b 4t 1 2 _ a 2t 2 2 · x 2 – 2 b 4t 1 _ t 2 2 ·x+a 2b 4 _ t 2 2 – a 2b 2 = 0 | · a 2t 2 2 a 2b 2t 2 2 · x 2 + b 4t 1 2 · x 2 – 2a2b 4t 1 ·x+a 4b 4 – a 4b 2t 2 2 =0 |:b2 a 2t 2 2 · x 2 + b 2t 1 2 · x 2 – 2a2b 2t 1 ·x+a 4b 2 – a 4t 2 2 = 0 (b2t 1 2 + a2t 2 2) a2b2 · x 2 – 2a2b 2t 1 ·x+a 2 · (a2b2 – a2t 2 2) b2t 1 2 = 0 (weil T = (t1 1 t 2) * ell) a 2b 2 · x 2 – 2a2b 2t 1 ·x+a 2b 2t 1 2 = 0 | : a 2b 2 x 2 – 2t 1x + t 1 2 = 0 (x – t 1) 2 = 0 x = t 1 , y=– b 2t 1 _ a 2t 2 · t 1 + b 2 _ t 2 = a 2b 2 – b 2t 1 2 _ a 2t 2 = a 2t 2 2 _ a 2t 2 = t 2 Zu 5.3 (Seite 117) Satz (Spaltform der Tangentengleichung einer Parabel) Eine Gleichung der Tangente in einem Punkt T = (t1 1 t 2) der Parabel y 2 = 2px lautet: t 2 · y = p · x + p · t 1 BEWEIS Wir zeigen, dass die Parabel par: y 2 = 2px und die Gerade t: t 2 y = px + pt1 genau den Punkt T = (t 1 1 t 2) gemeinsam haben. { y 2 =2px t 2 · y = p · x + p · t 1 Aus der 2. Gleichung erhält man: y = p _ t 2 (x + t1). Einsetzen in die 1. Gleichung liefert: p 2 _ t 2 2 · (x 2 + 2t 1x + t 1 2) = 2 p x p 2 (x 2 + 2t 1x + t 1 2) = 2p·t 2 2 ⏟ 2 pt1 · x (weil T = (t1 1 t 2) * par) p 2 (x 2 + 2t 1x + t 1 2) = 4p2t 1x | : p 2 x 2 + 2t 1x + t 1 2 – 4t 1x = 0 (x – t 1 ) 2 = 0 x = t 1 , y = p _ t 2 (t 1 + t 1) = 2 p t 1 _ t 2 = t 2 2 _ t 2 = t 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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