34 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG 2.38 Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! a) f (x) = 3 x2 – 6 w f’ (1) = 0 f (x) = 2 x3 – 5 x2 w f’ (2) = 4 f (x) = 2 x4 – x 5 w f’ (0) = 3 f (x) = 3 x2 + 6 x w f’ (– 2) = 0 f (x) = x4 + 2 x3 w f’ (– 1) = 2 b) f(x)=4x–4 w f’ (– 1) = – 4 f(x) = 6x – 3x2 w f’ (– 2) = – 6 f (x) = x2 + 3 x w f’ (0) = 3 f (x) = x4 – 3 x2 w f’ (1) = – 2 f(x) = 5x3 – 2 x4 w f’ (2) = 4 2.39 Ermittle die Steigung der Funktion f an der Stelle p! a) f (x) = 2 x2 – 5x + 3,p = 4 d) f (x) = x 3 – 6 x2 + x, p = 3 b) f (x) = x 4 + 4 x3 + 8, p = – 2 e) f (x) = 1 – 2 x 8 – x 2, p = 0 c) f (x) = – x 3 + 2 x2 – x + 1, p = 2 f) f (x) = x 6 – x 3 – 1, p = – 1 2.40 Ermittle eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P = (p 1 f (p)) und das Maß des Neigungswinkels dieser Tangente! a) f (x) = 2 x2 + 3x, p = – 2 d) f (x) = x 6 – x 5 – x, p = 0 b) f (x) = 1 _ 3 x 3 – x, p = 3 e) f (x) = 1 – x 7, p = – 1 c) f (x) = 5 – 1 _ 2 x 2, p = 4 f) f (x) = x 2(x – 1), p = 2 2.41 Bestimme jene Punkte auf dem Graphen von f, in denen die Tangente an den Graphen parallel zur Geraden g ist! a) f (x) = x 2 –4x–5,g:y=2x–1 c) f (x) = x 3 + 3 x2 +2,g:y=9x–2 b) f (x) = – x 2 +5x+3,g:y=x+3 d) f (x) = x 4 – 8 x2 + 6, g: y = 8 2.42 Ermittle alle Stellen x * R, an denen die Funktion f die Steigung k besitzt! a) f (x) = x 3 – 3 x2 –20x+6,k=4 c) f (x) = 1 _ 6 (2 x 3 + 3 x2 +18x–4), k = 5 b) f (x) = x 3 – 10,5 x 2 +24x,k=– 6 d) f (x) = 1 _ 5 (x 4 – 2 x3 + x 2 + 15 x), k = 3 2.43 a) Die Tangente an den Graphen der Funktion f mit f (x) = a x2 + b x + 5im Punkt P = (– 2 1 – 4) hat die Steigung k = 3. Ermittle a und b! b) Die Tangente an den Graphen der Funktion f mit f (x) = – x 3 + a x2 + bim Punkt P = (– 2 1 – 2) hat die Steigung k = 8. Ermittle a und b! 2.44 Die Tangente an den Graphen der Funktion f mit f (x) = x3 + a x 2 + b xim Punkt P = (–1 1 5) ist parallel zur Geraden g : 5 x + y = 3. Berechne a und b! 2.45 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x 2 + 4x + 3. a) Berechne die Schnittpunkte mit den Achsen und die Steigungen der Tangenten in diesen Punkten! b) In welchen Punkten des Graphen ist die Tangente zur ersten Achse (x-Achse) parallel, in welchen Punkten parallel zur Geraden 2 x – y + 3 = 0? c) In welchem Punkt des Graphen bildet die Tangente mit der positiven ersten Achse einen Winkel von 45°? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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