54 3 UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN Extremstellen von Polynomfunktionen in abgeschlossenen Intervallen R 3.15 Ermittle durch Rechnung die Monotonieintervalle sowie die globalen Extremstellen der Funktion f: [ 0; 5 ] ¥ R mit f (x) = 1 _ 4 (x 3 – 6 x2 +9x–8) und skizziere den Graphen von f! LÖSUNG • Nullstellen der Ableitung: f (x) = 1 _ 4 (x 3 – 6 x2 +9x–8) f’ (x) = 1 _ 4 (3 x 2 –12x+9) = 3 _ 4 (x 2 –4x+3) = 0 É É x = 1 = x = 3 • Durch die Nullstellen von f’wird das Intervall [ 0; 5 ] in folgende Monotonieintervalle zerlegt: [ 0; 1 ], [ 1; 3 ], [ 3; 5 ]. Aus f (0) = – 2, f (1) = –1, f(3) = – 2und f (5) = 3 ergibt sich: f ist in [ 0; 1 ] streng monoton steigend, in [ 1; 3 ] streng monoton fallend und in [ 3; 5 ] streng monoton steigend. • A ls globale Extremstellen von f im Intervall [ 0; 5 ] kommen nur die Randstellen 0 und 5 des Intervalls [ 0; 5 ] und die Nullstellen 1 und 3 von f’in Frage (denn innerhalb der Monotonieintervalle ist f jeweils streng monoton). Anhand der Funktionswerte an diesen Stellen erkennt man: 5 ist globale Maximumstelle von f, 0 und 3 sind globale Minimumstellen von f. BEACHTE Als globale Extremstellen einer Polynomfunktion f in einem abgeschlossenen Intervall [ a; b ] kommen nur die Nullstellen von f’sowie die Randstellen a und b des Intervalls infrage, wobei f’ (a) und f’ (b) nicht unbedingt null sein müssen. Werden die Hoch- und Tiefpunkte mit Technologieeinsatz ermittelt und wird das Definitionsintervall nicht angegeben, kann es sein, dass auch Hoch- und Tiefpunkte ausgegeben werden, die außerhalb dieses Intervalls liegen. 3.16 Ermittle die Monotonieintervalle und globalen Extremstellen der Funktion f im angegebenen Intervall! Skizziere den Graphen von f! a) f (x) = (x – 1) 2, [ – 1; 3 ] b) f (x) = x 2 + 1, [ – 2; 2 ] c) f (x) = – x (x – 2), [ – 2; 1 ] 3.17 Ermittle die Monotonieintervalle und globalen Extremstellen der Funktion f im angegebenen Intervall! Gib allenfalls Hoch- und Tiefpunkte an! Skizziere den Graphen von f! a) f (x) = x 3 – 12 x 2 + 45x – 53,[ 1; 6 ] b) f (x) = x 2 (x – 3), [ – 1; 3 ] 3.18 Ermittle die Stellen im angegebenen Intervall, an denen die Funktion f den kleinsten bzw. größten Wert annimmt! Skizziere den Graphen von f! a) f (x) = 1 – 2 _ 5 x, [ – 10; 7 ] b) f (x) = – 1 _ 4 x 2 + 5 _ 2 x – 9 _ 4 , [ 2; 8 ] c) f (x) = – 1 _ 3 x 3 + x 2 – 4 _ 3 , [ – 1; 3 ] 3.19 Ein Körper bewegt sich im Zeitintervall [ 6; 16 ] gemäß der Zeit-Ort-Funktion s mit s (t) = – 0, 01 t3 + 0, 24 t2 + 6(t in min, s (t) in m). a) Ermittle, wie groß die Geschwindigkeit des Körpers zu Beginn und am Ende des angegebenen Zeitintervalls ist! b) Gib an, in welchen Zeitintervallen die Geschwindigkeit zu- und in welchen sie abnimmt! 0 1 2 3 4 5 x f(x) 1 2 3 –1 –2 f AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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