55 3.4 Funktionsverlauf und höhere Ableitungen 3.4 Funktionsverlauf und höhere Ableitungen Krümmung R Man sagt: Die Funktion f in Abb. 3.5 a ist im Intervall I linksgekrümmt und die Funktion f in Abb. 3.5 b ist im Intervall I rechtsgekrümmt. Man stelle sich etwa vor, dass der Graph von f eine Straße darstellt und dass ein Autofahrer diese Straße von links nach rechts durchfährt. In Abb. 3.5 a muss er das Lenkrad nach links einschlagen, in Abb. 3.5 b nach rechts. f l Abb 3.5 a f l Abb 3.5 b In Abb. 3.5 a nimmt die Steigung von f mit wachsendem x zu (sie ist zuerst negativ, dann null, dann positiv). In Abb. 3.5 b nimmt die Steigung von f mit wachsendem x ab (sie ist zuerst positiv, dann null, dann negativ). Mit anderen Worten: In Abb. 3.5 a ist f’streng monoton steigend, in Abb. 3.5 b streng monoton fallend. Dies führt uns zu folgender Definition: Definition Es sei f: A ¥ R eine Polynomfunktion, f’: A ¥ R ihre Ableitung und I a Aein Intervall. Die Funktion f heißt • linksgekrümmt (positiv gekrümmt) in I, wenn f’streng monoton steigend in I ist, • rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt) in I, wenn f’ streng monoton fallend in I ist, • einheitlich gekrümmt in I, wenn f in I entweder linksgekrümmt oder rechtsgekrümmt ist. Die Art der Krümmung kann man mit Hilfe des folgenden Satzes feststellen: Krümmungssatz (Hinreichende Bedingung für Links- bzw. Rechtskrümmung) Ist f: A ¥ R eine Polynomfunktion und I a Aein Intervall, dann gilt: (1) f’’ (x) > 0 für alle inneren Stellen x * I w f ist linksgekrümmt in I (2) f’’ (x) < 0 für alle inneren Stellen x * I w f ist rechtsgekrümmt in I BEWEIS (1) Nach dem Monotoniesatz gilt: f’’ (x) = (f’)’ (x) > 0für alle inneren Stellen x * I w w f’ ist streng monoton steigend in I w f ist I linksgekrümmt (2) Dies kann analog bewiesen werden. Der Krümmungssatz ist nicht umkehrbar. Es gilt zum Beispiel nicht: f ist linksgekrümmt in I w f’’ (x) > 0für alle inneren Stellen x * I. Ein Gegenbeispiel stellt die Funktion f mit f (x) = x 4 dar (siehe die nebenstehende Abbildung). Die Funktion f ist linksgekrümmt in ganz R, aber es ist f’’ (0) = 0. (Rechne nach!) Durch die Nullstellen von f’’wird der Definitionsbereich von f in Intervalle zerlegt. Diese Intervalle nennt man Krümmungsintervalle von f, weil in diesen Intervallen f’’jeweils ein einheitliches Vorzeichen und deshalb f ein einheitliches Krümmungsverhalten aufweist. (Würde nämlich f’’im Inneren eines dieser Intervalle das Vorzeichen wechseln, müsste im Inneren dieses Intervalls eine weitere Nullstelle von f’’liegen.) x f(x) 1 –1 1 2 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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