56 3 UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN Merke Für jede nicht konstante Polynomfunktion lässt sich der Definitonsbereich in Krümmungsintervalle (dh. Intervalle mit einheitlichem Krümmungsverhalten) zerlegen. Um die Art der Krümmung in einem Krümmungsintervall I festzustellen, genügt es, das Vorzeichen von f’’an einer beliebigen inneren Stelle p * Izu ermitteln, denn f’’hat ja an allen inneren Stellen von I dasselbe Vorzeichen. Man kann dann schließen: • f’’ (p) > 0 w f ist linksgekrümmt in I • f’’ (p) < 0 w f ist rechtsgekrümmt in I 3.20 Nebenstehend ist eine Straße in einem Ortskoordinatensystem dargestellt. Die Form der Straße lässt sich ungefähr durch den Graphen der Funktion f mit f (x) = 1 _ 10 4 · (x 3 – 300 x2 + 22 500 x) (für 0 ª x ª 200) beschreiben (x und f (x) in Meter). Ein Autofahrer durchfährt die Straße von O nach Q. Ermittle, auf welchem Streckenabschnitt er das Lenkrad nach rechts, auf welchem nach links einschlagen muss! 50 100 150 200 x f (x) 50 100 0 P Q O In welchem Punkt der Straße muss er vom Rechtseinschlag zum Linkseinschlag wechseln? LÖSUNG • Erste und zweite Ableitung von f: f (x) = 1 _ 10 4 · (x 3 – 300 x 2 + 22 500 x) f’ (x) = 1 _ 10 4 · (3 x 2 – 600 x + 22 500) f’’ (x) = 1 _ 10 4 · (6 x – 600) • N ullstellen von f’’: f’’ (x) = 0 É x = 100 • K rümmungsintervalle: [ 0; 100 ] und [ 100; 200 ] Wir berechnen f’’in diesen Intervallen jeweils an einer inneren Stelle, etwa: f’’ (50) = 1 _ 10 4 · (6 · 50 – 600) < 0und f’’ (150) = 1 _ 10 4 · (6 · 150 – 600) > 0. Daraus folgt: f ist in [ 0; 100 ] rechtsgekrümmt und in [ 100; 200 ] linksgekrümmt. • D er Autofahrer muss also von O = (0 1 0) bis P = (100 1 25) das Lenkrad nach rechts einschlagen und von P = (100 1 25) bis Q = (200 1 50) nach links einschlagen. Im Punkt P muss er vom Rechtseinschlag zum Linkseinschlag wechseln. 3.21 Zeige, dass die Funktion f: R ¥ R einheitlich gekrümmt ist und gib die Art der Krümmung an! a) f (x) = – 3 x 2 + 12x – 9 c) f (x) = x (x – 1) e) f (x) = 2 x2 – 4 b) f (x) = x 2 – x + 1 d) f (x) = (x – 2) (x + 2) f) f (x) = – (x – 2) (x + 1) 3.22 Ermittle die Krümmungsbereiche der Funktion f: R ¥ R und gib stets die Art der Krümmung an! a) f (x) = 3 x3 + 6 x c) f (x) = 2 x3 – 12 x 2 + 27x + 26 e) f (x) = x 3 – 3 x2 +2x–4 b) f (x) = x 3 – 9 x2 + 24 x – 18 d) f (x) = x 3 – 9 x2 + 3x – 3 f) f (x) = x 3 + 6 x2 +18x – 20 3.23 Aus einem Würfel der Kantenlänge 1 wird eine quadratische Pyramide wie in der Abbildung herausgeschnitten (0 ª x ª 1). 1) Stelle eine Formel für das Volumen V (x) des Restkörpers auf! 2) Skizziere den Graphen der Funktion V: [ 0; 1 ] ¥ R 1 x ¦ V (x)! 3) Was lässt sich über die Krümmung von V aussagen? 4) Nimmt V mit wachsendem x immer schneller oder immer langsamer ab? AUFGABEN R x x x 1 1 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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